北師大版九年級(下) 第二章：二次函式
1. 二次函式的定義：
一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式.
對於係數，只要求，可以為0，則二次函式有以下四種表達形式：
①、②、③、④、2. 二次函式的影象及其性質：
(1)、二次函式的影象及其性質：
(2)、二次函式的影象及其性質：
(3)、二次函式的影象及其性質：
(4)、二次函式的影象及其性質：
3. 二次函式的解析式求法：
求二次函式解析式，首先要根據題目給出的條件，選好解析式的形式。
二次函式有以下三種形式的解析式：
(1)、一般式：
適用範圍：已知拋物線上任意三個點座標。
方法：將三個點座標代入，得到乙個關於、、的三元一次方程組，解出、、的值即可。
例題：已知拋物線通過三點（1，0）、（0，-2）、（2，3），求此拋物線的解析式。
解: 設此拋物線的解析式為：
將（1，0）、（0，-2）、（2，3）代入，得：
解得：所以，此拋物線的解析式為：
(2)、頂點式：
適用範圍：①、已知拋物線頂點座標+另外任意1個點座標。
②、已知拋物線對稱軸+另外任意2個點座標。
③、已知拋物線最值+另外任意2個點座標。
方法：①、知道頂點座標，即知道、的值，再代入另外1個點座標即可求出。
②、知道對稱軸，即知道的值，再代入另外2個點座標即可求出、。
③、知道最值，即知道的值，再代入另外2個點座標即可求出、。
例①：已知拋物線的頂點座標為（-1，-2）、且通過點（1，10），求此二次函式的解析式。
解: 設此拋物線的解析式為：
由題意可知，，所以，
將（1，10）代入，得：，所以，
所以，此二次函式的解析式為：
例②：已知拋物線的對稱軸為直線，且通過點（1，4）和點（5，0），求此拋物線的解析式。
解: 設此拋物線的解析式為：
由題意可知，所以，
將（1，4）、（5，0）代入，得
解得：所以，此二次函式的解析式為：
例③：已知拋物線經過點（4，-3），且當時，，求此拋物線的解析式。
解: 設此拋物線的解析式為：
由題意可知，，所以，
將（4，-3）代入，得：，所以，
所以，此二次函式的解析式為：
(3)、交點式：
說明：、是拋物線與軸交點的橫座標。
適用範圍：已知拋物線與軸交點座標+另外任意1個點座標。
方法：知道拋物線與軸交點座標，即知道、的值，再代入另外1個點座標即可求出。
注意：如果拋物線與軸有2個交點，則；如果拋物線與軸有1個交點，則；如果拋物線與軸沒有交點，則不能使用交點式。
例題：已知拋物線與軸交與點（-2，0）和點（1，0），且通過另一點（2，8），求此拋物線的解析式。
解: 設此拋物線的解析式為：
由題意可知，，所以，
將（2，8）代入，得：，所以，
所以，此二次函式的解析式為：
4. 二次函式係數符號與拋物線：
的符號：看拋物線開口方向.
的符號：左同右異.[對稱軸位於軸左側，和符號相同，對稱軸位於軸右側，和符號相反.]
的符號：看拋物線與軸交點位置.
或或…的符號：看、、符號的組合.
的符號：看當時，的值的正負； 的符號：看當時，的值的正負.
的符號：看當時，的值的正負；的符號：看當時，的值的正負.
的符號：看拋物線與軸的交點個數.
的符號：用對稱軸與1比較的符號：用對稱軸與-1比較.
的符號：用對稱軸與2比較的符號：用對稱軸與-2比較.
例題：已知二次函式的影象如圖所示，判斷下列式子值的正負：
. 因為拋物線開口向下.
. 因為對稱軸在軸右側，所以、符號相反，，所以.
. 因為拋物線與軸交點在正半軸.
、、. 因為、、
. 因為當時，的值在軸上方.
. 因為當時，的值在軸上方.
. 因為當時，的值在軸上方.
. 因為當時，的值在軸上方.
. 因為拋物線與軸有2個交點.
. 因為對稱軸
. 因為對稱軸
. 因為對稱軸
. 因為對稱軸
5. 二次函式的應用
(1)、分析數量關係型[例如：如何求最大利潤問題]
解題思路與方法：首先，認真分析題意，利用利潤公式：
總利潤=單件利潤 x 銷量 【單件利潤=售價—進價】，列出函式關係式，再根據二次函式的有關性質回答問題.
例題：某商店購進一批單價為8元的商品，如果按每件10元**，那麼每天可銷售100件。經調查發現，
這種商品的銷售單價每提高1元，其銷量相應減少10件．將銷售價定為多少，才能使每天收穫銷售利潤最大？最大利潤是多少？
思路分析：認真審題，分析題意可得下表：
①、假設設銷售單價提高元時：
②、假設設銷售單價定位元時：
分析題意後，即可根據利潤相關公式直接列出方程，方程即為二次函式解析式，並將解析式配方成頂點式求出最值。
注意：列方程時一定要注意你設的是什麼，設得不一樣，列出來的方程不一樣。
(2)、建模型[例如：如何求最大面積問題]
解題思路與方法：首先，認真分析題意，一定要弄清楚未知數所代表的意思，再根據題意建立起未知數間的函式關係式，常考的都利用面積公式建關係，用相似比表示邊的長度.
例題：如圖，在乙個直角三角形的內部作乙個長方形abcd，
其中ab和ad分別在兩直角邊上.
(1)、設長方形的一邊ab＝x m，那麼ad邊的長度如何表示？
(2)、設長方形的面積為y m2，當x取何值時，y的值最大？
最大值是多少
思路分析：(1)、要求ad邊的長度，即求bc邊的長度，而bc是△ebc中的一邊，因此可以用三角形相似求出bc．由△ebc∽△eaf，得即．所以ad＝bc＝(40－x)．
(2)、要求面積y的最大值，即求函式y＝ab·ad＝x·(40－x)的最大值，就轉化為數學問題了．
6. 二次函式與一元二次方程：
二次函式觀察發現，一元二次方程實際就是二次函式當時的情形，
一元二次方程： 則拋物線與軸交點的橫座標就是對應的一元二次方程的解.
即拋物線與軸交點的橫座標、是一元二次方程的根.
二次函式與軸交點個數與一元二次方程的解的關係：
①、函式與軸有兩個交點方程有兩個不相等的實數根.
②、函式與軸有乙個交點方程有兩個相等的實數根.
③、函式與軸沒有交點方程沒有實數根.
7. 本章常用解題方法總結：
(1)、討論拋物線開口大小、形狀的方法：
看，越大，拋物線開口越小，越小，拋物線開口越大，相等，拋物線開口大小、形狀相同.
(2)、求拋物線頂點座標方法：
①、配方：配成頂點式：，則頂點座標為：
②、用公式法：二次函式頂點公式：，此公式只直接適用於一般式，找出、、值，代入公式即可.
(3)、求拋物線對稱軸方法：
①、用公式法：對稱軸公式：，在一般式，找出、值，代入公式即可.
②、配方：配成頂點式：，則對稱軸為：.
③、對稱點法：在拋物線上找到一組對稱點與[只有縱座標相同的點才是對稱點]，則對稱軸為：.
(4)、求拋物線與座標軸交點方法：
①、與軸交點：令，解出對應的的值、，則拋物線與軸交點座標為：、.
北師大版數學九下第二章二次函式
第二章二次函式 2.1 二次函式所描述的關係 學習目標 1.探索並歸納二次函式的定義.2.能夠表示簡單變數之間的二次函式關係.學習重點 1.經歷探索二次函式關係的過程,獲得用二次函式表示變數之間關係的體驗.2.能夠表示簡單變數之間的二次函式.學習難點 經歷探索二次函式關係的過程,獲得用二次函式表示變...
北師九下第二章 二次函式測考試試題十
第二章 二次函式 基礎性測試卷十一 一 選擇題 1 已知函式，當函式值y隨x的增大而減小時，x的取值範圍是 a x 1 b x 4 c x 1d x 2 拋物線與x軸兩交點之間的距離為 a 8 b 16c 5d 3 3 一台機器原價為100萬元，如果每年的折舊率為x，兩年後這台機器的價位為y萬元，則...
第二章二次函式小結與複習
基礎盤點 一 二次函式的概念 一般地,形如是常數,的函式,叫做二次函式.其中,是 分別是函式解析式的係數 係數和 二 二次函式的圖象 二次函式的圖象是一條 其頂點座標為 當 時,圖象開口 當 時,圖象開口 三 二次函式的性質 1.對稱性 其圖象是軸對稱圖形,對稱軸是直線 2.增減性 若 當 時,值隨...