第二章二次函式
§2.1 二次函式所描述的關係
學習目標:
1.探索並歸納二次函式的定義.
2.能夠表示簡單變數之間的二次函式關係.
學習重點:
1.經歷探索二次函式關係的過程,獲得用二次函式表示變數之間關係的體驗.
2.能夠表示簡單變數之間的二次函式.
學習難點:
經歷探索二次函式關係的過程,獲得用二次函式表示變數之間關係的體驗.
學習方法:
討論探索法.
學習過程:
【例1】 函式y=（m＋2）x＋2x－1是二次函式，則m
【例2】 下列函式中是二次函式的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
【例3】正方形的邊長是5，若邊長增加x，面積增加y，求y與x之間的函式表示式．
1、 已知正方形的周長為20，若其邊長增加x，面積增加y，求y與x之間的表示式．
2、 已知正方形的周長是x，面積為y，求y與x之間的函式表示式．
3、已知正方形的邊長為x，若邊長增加5，求面積y與x的函式表示式．
【例4】如果人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期後，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存，到期支取時，銀行將扣除利息的20%作為利息稅．請你寫出兩年後支付時的本息和y（元）與年利率x的函式表示式．
【例5】某商場將進價為40元的某種服裝按50元售出時，每天可以售出300套．據市場調查發現，這種服裝每提高1元售價，銷量就減少5套，如果商場將售價定為x，請你得出每天銷售利潤y與售價的函式表示式．
【例6】如圖2-1-1，正方形abcd的邊長為4，p是bc邊上一點，qp⊥ap交dc於q，如果bp=x，△adq的面積為y，用含x的代數式表示y．
【例7】某高科技發展公司投資500萬元，成功研製出一種市場需求量較大的高科技替代產品，並投入資金1500萬元，進行批量生產．已知生產每件產品的成本為40元．在銷售過程中發現，當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利（年獲利=年銷售額－生產成本－投資）為z（萬元）．
（1）試寫出y與x之間的函式表示式（不必寫出x的取值範圍）；（2）試寫出z與x之間的函式表示式（不必寫出x的取值範圍）；（3）計算銷售單價為160元時的年獲利，銷售單價還可以定為多少元？相應的年銷售量分別為多少萬件？（4）公司計畫：
在第一年按年獲利最大確定的銷售單價，進行銷售；第二年年獲利不低於1130萬元．請你借助函式的大致圖象說明，第二年的銷售單價x（元）應確定在什麼範圍內？
【例6】如圖，用同樣規格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察下列圖形並解答有關問題：
（1）在第n個圖中，第一橫行共有塊瓷磚，每一豎列共有塊瓷磚（均用含n的代數式表示）；
（2）設鋪設地面所用瓷磚的總塊數為y，請寫出y與（1）中的n的函式表示式（不要求寫出自變數n的取值範圍）；
（3）按上述鋪設方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時n的值；
（4）若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題（3）中，共需花多少元購買瓷磚？
（5）是否存在黑瓷磚與白瓷磚相等的情形？請通過計算說明為什麼？
課後練習:
1．已知函式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常數），當a 時，是二次函式；當a ，b 時，是一次函式；當a ，b ，c 時，是正比例函式．
2．當m 時，y=（m－2）x是二次函式．
3．已知菱形的一條對角線長為a，另一條對角線為它的倍，用表示式表示出菱形的面積s與對角線a的關係．
4．已知：一等腰直角三角形的面積為s，請寫出s與其斜邊長a的關係表示式，並分別求出a=1，a=，a=2時三角形的面積．
5．在物理學內容中，如果某一物體質量為m，它運動時的能量e與它的運動速度v之間的關係是e=mv2（m為定值）．
（1）若物體質量為1，填表表示物體在v取下列值時，e的取值：
（2）若物體的運動速度變為原來的2倍，則它運動時的能量e擴大為原來的多少倍？
6．下列不是二次函式的是（ ）
a．y=3x2＋4 b．y=－x2 c．y= d．y=（x＋1）（x－2）
7．函式y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函式的條件是（ ）
a．m、n為常數，且m≠0b．m、n為常數，且m≠n
c．m、n為常數，且n≠0d．m、n可以為任何常數
8．半徑為3的圓，如果半徑增加2x，則面積s與x之間的函式表示式為（ ）
a．s=2π（x＋3）2 b．s=9π＋x c．s=4πx2＋12x＋9 d．s=4πx2＋12x＋9π
9．下列函式關係中，可以看作二次函式y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（ ）
a．在一定的距離內汽車的行駛速度與行駛時間的關係
b．我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數隨年份的變化關係
c．豎直向上發射的訊號彈，從發射到落回地面，訊號彈的高度與時間的關係（不計空氣阻力）
d．圓的周長與圓的半徑之間的關係．
10．下列函式中，二次函式是（ ）
a．y=6x2＋1 b．y=6x＋1 c．y=＋1 d．y=＋1
11．如圖，校園要建苗圃，其形狀如直角梯形，有兩邊借用夾角為135°的兩面牆，另外兩邊是總長為30公尺的鐵柵欄．（1）求梯形的面積y與高x的表示式；（2）求x的取值範圍．
12．在生活中，我們知道，當導線有電流通過時，就會發熱，它們滿足這樣乙個表示式：若導線電阻為r，通過的電流強度為i，則導線在單位時間所產生的熱量q=ri2．若某段導線電阻為0．5歐姆，通過的電流為5安培，則我們可以算出這段導線單位時間產生的熱量q
13．某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元**，每天可銷售100件．現在他採用提高售出價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每提高1元，其銷售量就要減少10件．若他將售出價定為x元，每天所賺利潤為y元，請你寫出y與x之間的函式表示式？
14．某工廠計畫為一批正方體形狀的產品塗上油漆，若正方體的稜長為a（m），則正方體需要塗漆的表面積s（m2）如何表示？
15．⑴已知：如圖菱形abcd中，∠a=60°，邊長為a，求其面積s與邊長a的函式表示式．
⑵菱形abcd，若兩對角線長a：b=1：，請你用含a的代數式表示其面積s．
⑶菱形abcd，∠a=60°，對角線bd=a，求其面積s與a的函式表示式．
16．如圖，在矩形abcd中，ab=6cm，bc=12cm．點p從點a開始沿ab方向向點b以1cm/s的速度移動，同時，點q從點b開始沿bc邊向c以2cm/s的速度移動．如果p、q兩點分別到達b、c兩點停止移動，設運動開始後第t秒鐘時，五邊形apqcd的面積為scm2，寫出s與t的函式表示式，並指出自變數t的取值範圍．
17．已知：如圖，在rt△abc中，∠c=90°，bc=4，ac=8．點d在斜邊ab上，分別作de⊥ac，df⊥bc，垂足分別為e、f，得四邊形decf．設de=x，df=y．
（1）ae用含y的代數式表示為：ae
（2）求y與x之間的函式表示式，並求出x的取值範圍；
（3）設四邊形decf的面積為s，求s與x之間的函式表示式．
§2.2 結識拋物線
學習目標:
經歷探索二次函式y=x2的圖象的作法和性質的過程，獲得利用圖象研究二次函式性質的經驗．掌握利用描點法作出y=x2的圖象，並能根據圖象認識和理解二次函式y=x2的性質．能夠作為二次函式y=－x2的圖象，並比較它與y=x2圖象的異同，初步建立二次函式表示式與圖象之間的聯絡．
學習重點:
利用描點法作出y=x2的圖象過程中，理解掌握二次函式y=x2的性質，這是掌握二次函式y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基礎，是二次函式圖象、表示式及性質認識應用的開始，只有很好的掌握，才會把二次函式學好．只要注意圖象的特點，掌握本質，就可以學好本節．
學習難點:
函式圖象的畫法，及由圖象概括出二次函式y=x2性質，它難在由圖象概括性質，結合圖象記憶性質．
學習方法:
探索——總結——運用法.
學習過程:
一、作二次函式y=x的圖象。
二、議一議：
1.你能描述圖象的形狀嗎？與同伴交流。
2.圖象與x軸有交點嗎？如果有，交點的座標是什麼？
3.當x<0時，y隨著x的增大，y的值如何變化？當x>0時呢？
4.當x取什麼值時，y的值最小？
5.圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什麼？請你找出幾對對稱點，並與同伴交流。
三、y=x的圖象的性質：
三、例題：
【例1】求出函式y=x＋2與函式y=x2的圖象的交點座標．
【例2】已知a＜－1，點（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函式y=x2的圖象上，則（ ）
a．y1＜y2＜y3 b．y1＜y3＜y2 c．y3＜y2＜y1 d．y2＜y1＜y3
四、練習
1．函式y=x2的頂點座標為 ．若點（a，4）在其圖象上，則a的值是 ．
2．若點a（3，m）是拋物線y=－x2上一點，則m
3．函式y=x2與y=－x2的圖象關於對稱，也可以認為y=－x2，是函式y=x2的圖象繞旋轉得到．
五、課後練習
1．若二次函式y=ax2（a≠0），圖象過點p（2，－8），則函式表示式為 ．
2．函式y=x2的圖象的對稱軸為 ，與對稱軸的交點為 ，是函式的頂點．
3．點a（，b）是拋物線y=x2上的一點，則b點a關於y軸的對稱點b是 ，它在函式上；點a關於原點的對稱點c是 ，它在函式上．
4．求直線y=x與拋物線y=x2的交點座標．
5．若a＞1，點（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函式y=x2的圖象上，判斷y1、y2、y3的大小關係？
6．如圖，a、b分別為y=x2上兩點，且線段ab⊥y軸，若ab=6，則直線ab的表示式為（ ）
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