第七章直線和圓
點一點——明確目標
理解直線的傾斜角、斜率、方向向量等概念，掌握直線方程的基本形式.
做一做——熱身適應
1.直線xtan+y=0的傾斜角是
解析：k=－tan=tan（π－）=tan且∈［0，π］.
答案：2.(2023年春季上海,11)已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別交於兩點，為座標原點，則三角形面積的最小值為
答案:4
3.直線y=1與直線y=x+3的夾角為
解法一：l1：y=1與l2：y=x+3的斜率分別為k1=0，k2=.由兩直線的夾角公式得
tanα=｜｜=，所以兩直線的夾角為60°.
解法二：l1與l2表示的圖象為（如下圖所示）y=1與x軸平行，y=x+3與x軸傾斜角為60°，所以y=1與y=x+3的夾角為60°.
答案：60°
4.直線xcosα＋y＋2＝0的傾斜角範圍是
ab.［0，］∪［，π］
c.［0d.［，］
解析：設直線的傾斜角為θ，
則tanθ=－cosα.又－1≤cosα≤1，
∴－≤tanθ≤.∴θ∈［0，］∪［，π）.
答案：b
5.下列四個命題：①經過定點p0（x0，y0）的直線都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；②經過任意兩個不同的點p1（x1，y1）、p2（x2，y2）的直線都可以用方程（x2－x1）（x－x1）=（y2－y1）（y－y1）表示；③不經過原點的直線都可以用方程+=1表示；④經過定點 a（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b表示.
其中真命題的個數是
a.0b.1c.2d.3
解析：對命題①④，方程不能表示傾斜角是90°的直線，對命題③，當直線平行於一條座標軸時，則直線在該座標軸上截距不存在，故不能用截距式表示直線.只有②正確. 答案：b
理一理——疑難要點
1.直線的傾斜角、斜率及直線的方向向量
（1）直線的傾斜角
在平面直角座標系中，對於一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為α，那麼α就叫做直線的傾斜角.
當直線和x軸平行或重合時，我們規定直線的傾斜角為0°.
可見，直線傾斜角的取值範圍是0°≤α＜180°.
（2）直線的斜率
傾斜角α不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）.
傾斜角是90°的直線沒有斜率；傾斜角不是90°的直線都有斜率，其取值範圍是（－∞，+∞）.
（3）直線的方向向量
設f1（x1，y1）、f2（x2，y2）是直線上不同的兩點，則向量=（x2－x1，y2－y1）稱為直線的方向向量.向量=（1，）=（1，k）也是該直線的方向向量，k是直線的斜率.
（4）求直線斜率的方法
①定義法：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則斜率k=tanα.
②公式法：已知直線過兩點p1（x1，y1）、p2（x2，y2），且x1≠x2，則斜率k=.
③方向向量法：若a=（m，n）為直線的方向向量，則直線的斜率k=.
平面直角座標系內，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率.
斜率的圖象如下圖.
對於直線上任意兩點p1（x1，y1）、p2（x2，y2），當x1=x2時，直線斜率k不存在，傾斜角α=90°；當x1≠x2時，直線斜率存在，是一實數，並且k≥0時，α=arctank，k＜0時，α=π+arctank.
2.直線方程的五種形式
（1）斜截式：y=kx+b.
（2）點斜式：y－y0=k（x－x0）.
（3）兩點式： =.
（4）截距式： +=1.
（5）一般式：ax+by+c=0.
撥一撥——思路方法
【例1】 已知兩點a（－1，2）、b（m，3）.
（1）求直線ab的斜率k與傾斜角α；
（2）求直線ab的方程；
（3）已知實數m∈［－－1，－1］，求直線ab的傾斜角α的取值範圍．
解：（1）當m=－1時，直線ab的斜率不存在，傾斜角α＝．
當m≠－1時，k＝，
當m＞－1時，α＝arctan，
當m＜－1時，α＝π＋arctan．
（2）當m=－1時，ab：x=－1，
當m≠1時，ab：y－2=（x+1）．
（3）1°當m=－1時，α＝；
2°當m≠－1時，
∵k故綜合1°、2°得，直線ab的傾斜角α∈［，］.
【例2】 已知△abc的三個頂點是a（3，－4）、b（0，3）、c（－6，0），求它的三條邊所在的直線方程.
剖析：一條直線的方程可寫成點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式等多種形式.使用時，應根據題目所給的條件恰當選擇某種形式，使得解法簡便.
由頂點b與c的座標可知點b在y軸上，點c在x軸上，於是bc邊所在的直線方程用截距式表示，ab所在的直線方程用斜截式的形式表示，ac所在的直線方程利用兩點式或點斜式表示均可，最後為統一形式，均化為直線方程的一般式.
解：如下圖，因△abc的頂點b與c的座標分別為（0，3）和（－6，0），故b點在y軸上，c點在x軸上，即直線bc在x軸上的截距為－6，在y軸上的截距為3，利用截距式，直線bc的方程為+=1，
化為一般式為x－2y+6=0.
由於b點的座標為（0，3），故直線ab在y軸上的截距為3，利用斜截式，得直線ab的方程為y=kx+3.
又由頂點a（3，－4）在其上，所以－4=3k+3.故k=－.
於是直線ab的方程為y=－x+3，化為一般式為7x+3y－9=0.
由a（3，－4）、c（－6，0），
得直線ac的斜率kac==－.
利用點斜式得直線ac的方程為
y－0=－（x+6），
化為一般式為4x+9y+24=0.
也可用兩點式，得直線ac的方程為
=，再化簡即可.
評述：本題考查了求直線方程的基本方法.
【例3】 已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點為p（2，3），求過兩點q1（a1，b1）、q2（a2，b2）（a1≠a2）的直線方程.
剖析：利用點斜式或直線與方程的概念進行解答.
解：∵p（2，3）在已知直線上，
2a1+3b1+1=0，
2a2+3b2+1=0.
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－.
∴所求直線方程為y－b1=－（x－a1）.
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0.
評述：此解法運用了整體代入的思想，方法巧妙.
思考討論
依「兩點確定一直線」，那麼你又有新的解法嗎？
提示： 由
2a1+3b1+1=0，
2a2+3b2+1=0，
知q1、q2在直線2x+3y+1=0上.
【例4】 一條直線經過點p（3，2），並且分別滿足下列條件，求直線方程：
（1）傾斜角是直線x－4y+3=0的傾斜角的2倍；
（2）與x、y軸的正半軸交於a、b兩點，且△aob的面積最小（o為座標原點）.
剖析：（2）將面積看作截距a、b的函式，求函式的最小值即可.
解：（1）設所求直線傾斜角為θ，已知直線的傾斜角為α，則θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，
從而方程為8x－15y+6=0.
（2）設直線方程為＋＝1，a＞0，b＞0，代入p（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
從而s△aob＝ab≥12，
此時＝，∴k＝－＝－.
∴方程為2x+3y－12=0.
評述：此題（2）也可以轉化成關於a或b的一元函式後再求其最小值.
深化拓展
若求|pa|·|pb|及|oa|+|ob|的最小值，又該怎麼解呢？
提示： 可類似第（2）問求解.
練一練——鞏固提高
1.（2023年春季北京）直線x－y+a=0（a為實常數）的傾斜角的大小是
解析：k=，即tanα=.
∴α=30°.
答案：30°
2.（2023年北京東城區目標檢測）已知直線l1：x－2y+3=0，那麼直線l1的方向向量a1為注：
只需寫出乙個正確答案即可）；l2過點（1，1），並且l2的方向向量a2與a1滿足a1·a2=0，則l2的方程為
解析：由方向向量定義即得a1為（2，1）或（1，）.
a1·a2=0，即a1⊥a2.
也就是l1⊥l2，即k1·k2=－1.
再由點斜式可得l2的方程為2x+y－3=0.
答案：（2，1）或（1，） 2x+y－3=0
3.直線x－2y+2k=0與兩座標軸所圍成的三角形面積不大於1，那麼k的範圍是
c.－1≤k≤1且k≠0
或k≥1
解析：令x=0，得y=k；令y=0，得x=－2k.∴三角形面積s=｜xy｜=k2.
又s≤1，即k2≤1，
∴－1≤k≤1.
又∵k=0時不合題意，故選c.
答案：c
4.（2023年湖南，2）設直線ax+by+c=0的傾斜角為α，且sinα+cosα=0，則a、b滿足
解析：0°≤α＜180°，又sinα+cosα=0，α=135°，∴a－b=0.
答案：d
5.已知直線l的斜率為6，且被兩座標軸所截得的線段長為，求直線l的方程.
解法一：設所求直線l的方程為y=kx+b.
∵k＝6，∴方程為y=6x+b.
令x=0，∴y=b，與y軸的交點為（0，b）；
令y=0，∴x=－，與x軸的交點為（－，0）.
根據勾股定理得（－）2＋b2＝37，
∴b＝±6.因此直線l的方程為y=6x±6．
解法二：設所求直線為+=1，則與x軸、y軸的交點分別為（a，0）、（0，b）.
由勾股定理知a2＋b2＝37.
又k=－=6，
a2＋b2＝37，
－=6.
a＝1， a＝－1，
b＝－6 b＝6.
因此所求直線l的方程為x+=1或－x+=1，即6x－y±6＝0．
6.在△abc中，已知點a（5，－2）、b（7，3），且邊ac的中點m在y軸上，邊bc的中點n在x軸上.
（1）求點c的座標；
（2）求直線mn的方程.
解：（1）設點c（x，y），由題意得=0， =0，得x=－5，y=－3.故所求點c的座標是（－5，－3）.
直線的方程xiao
高一數學必修二編號 sx 02 12 直線的方程 導學案 撰稿 梁衛華肖豔紅審核 高一數學組時間 2012.5.12 姓名班級組別組名 學習目標 1 熟練掌握直線方程的五種形式 2 熟知各種直線方程中的限制條件 重點難點 重點 各種直線方程形式間的轉化 難點 各種形式間的區別 知識鏈結 1 傾斜角與...
直線方程 直線方程完美總結 歸納
直線方程 一 傾斜角與斜率 1.直線的傾斜角 傾斜角 與x軸正方向的夾角 直線與軸平行或重合時,規定它的傾斜角為 傾斜角的範圍 2.直線的斜率 直線的斜率就是直線傾斜角的正切值.記作 altimg w 82 h 26 當直線與軸平行或重合時,altimg w 50 h 25 0 altimg w 1...
直線與直線的方程知識結構
知識概要 一 直線 1 直線的方程 1 直線的傾斜角的取值範圍是平面內的任意一條直線都有唯一確定的傾斜角。2 直線的斜率且 變化情況如下 斜率的計算公式 若斜率為的直線過點與，則k 3 直線方程的五種形式 2 兩條直線位置關係 1 設兩條直線和，則有下列結論 且 2 設兩條直線不全為和，不全為0 則...