經典例題透析
型別一：求規定形式的直線方程
1．(1)求經過點a(2，5)，斜率是4直線的點斜式方程；
(2)求傾斜角是，在軸上的截距是5；直線的斜截式方程；
(3)求過a(-2，-2)，b(2，2)兩點直線的兩點式方程；
(4)求過a(-3，0)， b(0，2)兩點直線的截距式方程.
思路點撥：
直線方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式，要根據條件寫出直線方程.
解：(1)由於直線經過點a(2，5)，斜率是4，由直線的點斜式可得；
(2)；
；.總結昇華：
寫規定形式的方程，要注意方程的形式.
舉一反三：
【變式1】
(1)寫出傾斜角是，在軸上的截距是-2直線的斜截式方程；
(2)求過a(-2，-3)，b(-5，-6)兩點直線的兩點式方程；
(3)求過a(1，0)， b(0，-4)兩點直線的截距式方程.
【答案】
(1)；
； .
【變式2】
寫出下列點斜式直線方程：
(1)經過點，斜率是4；
(2)經過點，傾斜角是.
【解答】
(1)；
(2)，所以直線的點斜式方程為：.
型別二：直線與座標軸形成三角形問題
2．過點p(2，1)作直線與x軸、y軸正半軸交於a、b兩點，求△aob面積的最小值及此時直線的方程.
思路點撥：
因直線已經過定點p(2，1)，只缺斜率，可先設出直線的點斜式方程，且易知k<0，再用k表示a、b點座標，結合函式及不等式知識求解.
解析：解法一：設直線的方程為:y-1=k(x-2)，
令y=0，得:x=；
令x=0，得y=1-2k，
∵與x軸、y軸的交點均在正半軸上，
∴>0且1-2k>0
故k<0，
△aob的面積
當且僅當-4k=-，即k=-時，
s取最小值4，
故所求方程為y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.
解法二：設直線方程為，
∴a(a，0)，b(0，b)，且a>0，b>0，
∵點p(2，1)在直線上，故，由均值不等式:1=
當且僅當，即a=4，b=2時取等號，且s=ab=4，此時方程為
即:x+2y-4=0.
解法三：如圖，過p(2，1)作x軸與y軸的垂線pm、pn，
垂足分別為m、n，設=∠pam=∠bpn，則△aob面積
s=s矩形ompn+s△pam+s△bpn
==4，當且僅當時，s△aob
有最小值4，故此時直線的方程為y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.
總結昇華：
解法一與解法二選取了直線方程的不同形式，解法三考慮到圖形的直觀性，利用了形數結合的思想，體現了解題的「靈活性」. 已知直線過一點時，常設其點斜式方程，但需注意斜率不存在的直線不能用點斜式表示，從而使用點斜式或斜截式方程時，要考慮斜率不存在的情況，以免丟解. 而直線在座標軸上的截距，可正、可負，也可以為零，不能與距離混為一談，注意如何由直線方程求其在座標軸上的截距.
舉一反三：
【變式1】
已知直線經過點，且與兩座標軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程．
【答案】
由已知得與兩座標軸不垂直．
∵直線經過點，∴ 可設直線的方程為，即.
則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為.
根據題意得，即.
當時，原方程可化為，解得；
當時，原方程可化為，此方程無實數解.
故直線的方程為，或.
即或.【變式2】
求通過點(1，-2)，且與兩座標軸圍成的圖形是等腰直角三角形的直線；
【答案】
由題設，設所求直線方程為，由已知條件得:
解之得：，
故所求直線方程為:x+y+1=0或x-y-3=0.
型別三：斜率問題
3．求過點，且與軸的交點到點的距離為5的直線方程.
思路點撥：
要對直線是否存在斜率的不同情況加以分類解析，結合題目中的相關條件設出對應的直線方程，然後求解.
解析：(1)當直線斜率存在時，因為直線與軸相交，所以，設直線的斜率為，
已知直線過點，代入點斜式方程，得，
所以直線與軸的交點為則有，解得，
故所求直線方程為；
(2)當直線斜率不存在時，經過點a且垂直於軸的直線與軸的交點(-4，0)到的距離也恰好
為5，所以直線也滿足條件.
綜上所述，所求直線方程為或.
總結昇華：
解答此類問題時，容易忽視直線斜率不存在時的情況，同學們在實際解答時要全面考慮.斜率不存在的直線(即垂直於軸的直線)不能用點斜式、斜截式方程求解，點斜式、斜截式方程的使用條件是直線斜率必須存在.因此，用點斜式、斜截式方程求解直線方程時要考慮斜率不存在的情況，以免丟解.
舉一反三：
【變式1】
（2011 寧夏鹽池）由點發出的光線射到直線上，反射後過點，則反射光線所在直線的一般方程為
【解析】設點p關於直線的對稱點，則滿足條件
，解得所以由直線方程的兩點式可求得反射光線所在直線方程為， 即.
型別四：截距問題
4．求過點且在兩座標軸上截距相等的直線方程.
思路點撥：
要對直線截距的不同情況加以分類解析，結合題目中的相關條件設出對應的直線方程，然後求解.直線在兩軸上截距相等，直接考慮截距式方程，也可以用由圖形性質，得到k=-1時截距相等，從而選用點斜式. 解題時特別要注意截距都是0的情況，這時選用函式.
解析：(1)當截距不為零時，設所求直線方程為，將點代入得，解得，
故所求直線方程為；
(2)當截距為0時，直線方程為
綜上所述，所求直線方程為或.
總結昇華：
注意截距與距離的區別，截距可正、可負、可為零，不可與距離混為一談.截距式方程的使用條件是直線在軸、軸上的截距都存在且不為零，垂直於座標軸和過原點的直線不能用該方程求解，因此用截距式方程要考慮截距為零的情況.解答此類問題時，容易遺漏所求直線在在軸、軸上的截距為0的情況，在實際解答時要全面考慮.
舉一反三：
【變式】
求過點，並且在兩軸上的截距相等的直線方程.
【答案】
當在兩軸上的截距，設所求直線，
點代入得
，解得.
∴ 所求直線為
當在兩軸上的截距，設所求直線，
則，解得.
∴ 所求直線方程為，即.
所以，所求直線方程為或.
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