1.如圖1，在正方形abcd外側作直線ap，點b關於直線ap的對稱點為e，連線be，de，其中de交直線ap於點f，
（1）求證：bf⊥ed；
（2）將圖1中直線ap繞點a順時針旋轉，使∠pab=60°（如圖2），若ab=2，求△bed的面積．
（1）證明：連線ae，如圖1所示：
∵點b關於直線ap的對稱點為e，
∴ef=bf，ae=ab，
∴△aef和△abf關於直線ap對稱，
∴∠3=∠4，
∵四邊形abcd是正方形，
∴ab=ad，∠bad=90°，
∴ae=ad，∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠5=90°，
∴∠bfd=90°，
∴bf⊥ed；
（2） 連線ae，過e作eg⊥ad，交da的延長線於g，如圖2所示：
∵∠pab=60°，ab=2，
∴pa=
ab=1，pb=
，∴be=2pb=2
，∴△abe的面積=
×2×1=
，∵∠eap=∠pab=60°，
∴∠eag=60°+60°-90°=30°，
∴eg=
ae=ab=1，
∴△ade的面積=
×2×1═1，
又∵△abd的面積=
×2×2=2，
∴△bed的面積=△ade的面積+△abe的面積+△abd的面積=1+
+2=3+
2.等腰rt△abc中，∠bac=90°，點a、點b分別是x軸、y軸兩個動點，直角邊ac交x軸於點d，斜邊bc交y軸於點e。
（1）如圖（1），若a(0，1)，b(2，0)，求c點的座標；
（2）如圖（2）， 當等腰rt△abc運動到使點d恰為ac中點時，連線de，求證：∠adb=∠cde；
（3）如圖（3），在等腰rt△abc不斷運動的過程中，若滿足bd始終是∠abc的平分線，試**：線段oa、od、bd三者之間是否存在某一固定的數量關係，並說明理由。
（1）c(－1，－1)；（2）見解析；（3）bd=2(oa +od)
【解析】
試題分析：（1）過點c作cf⊥y軸於點f，則△acf≌△abo(aas)，即得cf=oa=1，af=ob=2，
從而求得結果；
（2）過點c作cg⊥ac交y軸於點g，則△acg≌△abd(asa)，即得cg=ad=cd，∠adb=∠g， 由∠dce=∠gce=45°，可證△dce≌△gce(sas)得∠cde=∠g，從而得到結論；
(3)在ob上擷取oh=od，連線ah，由對稱性得ad=ah, ∠adh=∠ahd，可得∠ahd=∠adh=∠bao=∠beo，即得∠aec=∠bha，從而證得△ace≌△bah(aas)，即可得到 ae=bh=2oa，從而得到結果.
（1）如圖，過點c作cf⊥y軸於點f
則△acf≌△abo(aas)，
∴cf=oa=1，af=ob=2
∴of=1
∴c(－1，－1)；
（2）如圖，過點c作cg⊥ac交y軸於點g
則△acg≌△abd(asa)
∴cg=ad=cd，∠adb=∠g
∵∠dce=∠gce=45°
∴△dce≌△gce(sas)
∴∠cde=∠g
∴∠adb=∠cde；
(3) 如圖，在ob上擷取oh=od，連線ah
由對稱性得ad=ah, ∠adh=∠ahd
∴∠ahd=∠adh=∠bao=∠beo
∴∠aec=∠bha
又∵ab=ac ∠cae=∠abh
∴△ace≌△bah(aas)
3．如圖，△abc是等邊三角形，點d在邊ac上（點d不與點a，c重合），點e是射線bc上的乙個動點（點e不與點b，c重合），連線de，以de為邊作等邊△def，連線cf.
（1）如圖1，當de的延長線與ab的延長線相交，且點c，f在直線de的同側時，過點d作dg∥ab，dg交bc於點g，求證：cf=eg；
（2）如圖2，當de的反向延長線與ab的反向延長線相交，且點c，f在直線de的同側時，求證：cd=ce+cf；
（3）如圖3，當de的反向延長線與線段ab相交，且點c，f在直線de的異側時，猜想cd、ce、cf之間的等量關係，並說明理由.
解析：（1）證明：如圖1，∵△abc是等邊三角形，
∴∠b＝∠acb＝60°．
∵dg∥ab，
∴∠dgc＝∠b．
∴∠dgc＝∠dcg＝60°．
∴△dgc是等邊三角形．
∴dc＝dg，∠cdg＝60°，
∵△def是等邊三角形，
∴de＝df，∠edf＝60°
∴∠edg＝60°－∠gdf，∠fdc＝60°－∠gdf，
∴∠edg＝∠fdc，
∴△edg≌△fdc．
∴fc＝eg．
（2）證明：∵△abc是等邊三角形，
∴∠b＝∠acb＝60°．
如圖2，過點d作dg∥ab，dg交bc於點g．
∴∠dgc＝∠b＝60°．
∴∠dgc＝∠dcg＝60°
∴△dgc是等邊三角形．
∴cd＝dg＝cg，∠cdg＝60°，
∵△def是等邊三角形，
∴de＝df，∠edf＝60°，
∴∠edg＝60°－∠cde，∠fdc＝60°－∠cde，
∴∠edg＝∠fdc．
∴△edg≌△fdc．
∴eg＝fc．
∵cg＝ce＋eg，
∴cg＝ce＋fc．
∴cd＝ce＋fc．
（3）解：如圖3，猜想dc、ec、fc之間的等量關係是fc＝dc＋ec．
證明如下：
∵△abc是等邊三角形，
∴∠b＝∠acb＝60°．
過點d作dg∥ab，dg交bc於點g．
∴∠dgc＝∠b．
∴∠dgc＝∠dcg＝60°
∴△dgc是等邊三角形．
∴cd＝dg＝cg，∠cdg＝60°．
∵△def是等邊三角形，
∴de＝df，∠edf＝60°，
∴∠edg＝60°＋∠cde，∠fdc＝60°＋∠cde，
∴∠edg＝∠fdc．
∴△edg≌△fdc．
∴eg＝fc．
∵eg＝ec＋cg，
∴fc＝ec＋dc．
點睛：本題主要考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，新增輔助線構造出全等三角形是解決此題的關鍵．
如果記y=x2/1+x2,並有f(1)表示當x=1是,y的值,即f(1)=1方/1+1方=1/2；f(1/2)表示當x=1/2時，y的值，即f(1/2)=(1/2)2/1+(1/2)2=1/5……那麼，f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+…+f(n)+f(1/n)的結果是什麼（結果用含n的式子表示，n為正整數）
y=f(x)=x^2/(1+x^2)
f(1/x)=(1/x^2)/(1+1/x^2)=1/(x^2+1)
故有f(x)+f(1/x)=x^2/(1+x^2)+1/(x^2+1)=(x^2+1)/(x^2+1)=1
那麼有:f(1)+f(2)+f(1/2)+f(3)+f(1/3)+…+f(n)+f(1/n)=f(1)+[f(2)+f(1/2)]+[f(3)+f(1/3)]+...+[f(n)+f(1/n)]
=1/2+[1+1+...+n( 共有n-1個1)]
=1/2+(n-1)
=n-1/2
5.如圖，已知△bad和△bce均為等腰直角三角形，∠bad=∠bce=90°，點m為de的中點，過點e與ad平行的直線交射線am於點n．
（1）當a，b，c三點在同一直線上時（如圖1），求證：m為an的中點；（3分）
（2）將圖1中的△bce繞點b旋轉，當a，b，e三點在同一直線上時（如圖2），
求證：△acn為等腰直角三角形；（3分）
（3）將圖1中△bce繞點b旋轉到圖3位置時，（2）中的結論是否仍成立？
若成立，試證明之；若不成立，請說明理由．（4分）
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