第一篇三角形的證明
1、知識清單
（1）公理
1、三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「邊邊邊」或「sss」）。
2、兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「邊角邊」或「sas」）。
3、兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「角邊角」或「asa」）。
5、全等三角形的對應邊相等、對應角相等。
6、推論：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「角角邊」或「aas」）。
（二）等腰三角形
1、等腰三角形的性質
（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）
（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。
（3）等腰三角形的其他性質：
①等腰直角三角形的兩個底角相等且等於45°
②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
③等腰三角形的三邊關係：設腰長為a，底邊長為b，則 ④等腰三角形的三角關係：設頂角為頂角為∠a，底角為∠b、∠c，則∠a=180°—2∠b，∠b=∠c=
2、等腰三角形的判定
（1）如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。
（2）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.
（三）等邊三角形
1、性質：（1）等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°。
（2）三線合一
2、判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形
（3）有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
（四）直角三角形
1、直角三角形的性質
（1）直角三角形的兩個銳角互餘
（2）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半。
（3）直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
（4）勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等於斜邊c的平方，即
（5）其它性質：
①直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個三角形和原三角形相似。
②常用關係式：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積
2、直角三角形的判定
（1）乙個角是直角的三角形是直角三角形。
（2）如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關係，那麼這個三角形是直角三角形。
3、直角三角形全等的判定：對於特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有hl定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成「斜邊、直角邊」或「hl」）
（五）角的平分線及其性質與判定
1、角的平分線：從乙個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。
2、角的平分線的性質定理
（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
（2）定理：三角形的三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等。
3、角的平分線的判定定理：在乙個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
（六）線段垂直平分線的性質與判定
1、線段的垂直平分線：垂直於一條線段並且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。
2、線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。
3、定理：三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等。
4、線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
（七）互逆命題、互逆定理
1、在兩個命題中，如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題。（「條件」與「結論」交換）
2、如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中乙個定理稱為另乙個定理的逆定理。
提示：寫原命題的逆命題時，最好先將原命題改寫成「如果……那麼……」的形式；
（八）證明方法：綜合法（拓展）、反證法
1、綜合法：①審題：找出已知、求證的各量之間的關係；②分析解題思路：一般採用逆向思考，即從結論入手，追溯結論成立的理由。③書寫推理過程，從已知入手，將分析過程倒著寫出來；
2、反證法：在證明時，先假設命題的結論不成立，然後推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立的方法稱為反證法；
（1）步驟：①提假設：假設命題的結論不成立，②推矛盾：從假設出發，應用正確的推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果；③得結論：從而肯定命題的結論；
（2）幾種常見的結論和它的否定形式：
a＞b」對應「a≤b」；
a=b」對應「a≠b」或「a＜b，a＞b」；
a∥b」對應「a與b相交」；
④「點在直線上」對應「點在直線外」；
⑤「至少有乙個」對應「乙個都沒有」；
⑥「至少有兩個」對應「至多有乙個」；
2、典例歸納
考點一：等腰三角形與反證法
【例1】下列兩個三角形中，一定全等的是（ ）
（a）有乙個角是40°，腰相等的兩個等腰三角形；
（b）兩個等邊三角形；
（c）有乙個角是100°，底相等的兩個等腰三角形；
（d）有一條邊相等，有乙個內角相等的兩個等腰三角形.
【例2】乙個三角形如果有兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那麼這個三角形是（ ）.
（a）等腰三角形; （b）等邊三角形;
（c）直角三角形; （d）等腰直角三角形.
【例3】如圖，於，於，下列條件：①是的平分線；②；③；④ =.其中能夠證明≌的條件的個數有（ ）
(a)1個 (b)2個 (c)3個 (d)4個
【例4】用反證法證明 「三角形中至少有乙個角不小於60°時，假設則與矛盾，所以原命題正確．
【變式1】如果等腰三角形的乙個角是80°，那麼頂角是度.
【變式2】若等腰三角形一腰上的高等於腰長的一半，則這個等腰三角形的底角為 .
【變式3】用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角.
【變式4】已知：如圖，在等邊三角形的邊上取中點，的延長線上取一點，使＝．求證：＝.
【變式5】證明：等腰三角形兩底角的平分線相等.
方法總結：
1、等腰三角形底邊上的高線、頂角平分線、底邊上的中線是常作輔助線，作出它們的目的一般是為了運用「三線合一」這一性質；
2、利用反證法證明命題時，首先假設原命題的結論不成立，即提出與原命題結論相反的結論，然後以此為出發點推導出與已知、定理、基本事實、定義相矛盾的結果，從而得到原命題的結論成立；
考點二：直角三角形與命題
【例1】說出下面命題的逆命題，並判斷這對命題的真假.
如果ab=0，那麼a=0，b=0.
【例2】 如圖是2023年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，它是由4個相同的直角三角形拼和而成.若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的和是 .
【例3】已知中， ， ，邊上的中線，求證：
【變式1】 已知：如圖， =，.求證：.
【變式2】如圖， ,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積
【變式3】ad是△abc中∠bac的平分線，且bd=dc，求證：ab＝ac.
方法總結：
1、證明乙個命題是假命題時，只需舉出乙個反例即可；
2、利用勾股定理的逆定理判斷三角形是否是直角三角形，首先找出最長邊，然後再計算三邊是否滿足勾股定理，若滿足，則三角形就是直角三角形；
3、三角形中的角度計算常用的知識點：（1）三角形內角和定理；（2）等腰三角形的性質；（3）等邊三角形的性質；（4）直角三角形的性質；
4、先由線段垂直或特殊角（30°，45°，60°）構造直角三角形，再利用勾股定理和直角三角形的性質解題是一種常用的方法；
5、涉及圖形面積問題，常用到勾股定理及其逆定理求邊長或確定直角三角形，當求不規則圖形的面積時，往往需要將不規則的圖形轉化為基本圖形來運算；
注意：運用「hl」定理判定兩個三角形全等時，必須說明兩個三角形為直角三角形；
考點三：線段的垂直平分線
【例1】到的三個頂點距離相等的點是的（ ）.
（a）三邊垂直平分線的交點b）三條角平分線的交點；
（c）三條高的交點d）三邊中線的交點.
【例2】乙個三角形如果有兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那麼這個三角形是（ ）.
（a）等腰三角形; （b）等邊三角形; （c）直角三角形; （d）等腰直角三角形.
【變式1】在中，邊、、的垂直平分線相交於，則、、的大小關係是
【變式2】已知：如圖，中，，.
(1)用直尺和圓規作的垂直平分線，分別交、於點、(保留作圖痕跡，不寫作法).
(2)猜想與之間有何數量關係，並證明你的猜想.
【變式3】在銳角△abc中，∠b=2∠c，ad⊥bc於點d，求證：cd=ab+bd.
方法總結：
1、到兩點距離相等的點一定在這兩點所**段的垂直平分線上，在實際問題中常利用其確定乙個點的位置；
2、出現軸對稱時，要考慮應用線段垂直平分線的性質找出相等的線段；
3、證明線段的和、差經常採用的方法是「截長法」或「補短法」；
4、有垂直平分線時，常把垂直平分線上的點和線段兩端點分別連線起來，構造相等線段；
考點四：角平分線
【例1】中，，平分，交於點,若，則到的距離是 .
【例2】已知，如圖，o是△abc的∠abc、∠acb的角平分線的交點，od∥ab交bc於d，oe∥ac交bc於e，bc=10cm，求△ode的周長；
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