謹獻給高考的同學們
典型例題一
例1 橢圓的離心率為，則=
解析：方程中4和哪個大哪個就是，因此要討論；（ⅰ）若0<<4,則，∴，∴==，得=3；（ⅱ）>4,則，∴，∴==，得=；綜上：=3或=。
說明：橢圓的標準方程有兩個，不能確定橢圓的位置時，因而要考慮兩種情況．
典型例題二
例2 乙個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率．
解： ∴，
∴．說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可．
典型例題三
例3 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交於、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．
解：由題意，設橢圓方程為，
由，得，
∴，，，∴，
∴為所求．
說明：（1）此題求橢圓方程採用的是待定係數法；（2）直線與曲線的綜合問題，經常要借用根與係數的關係，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題．
典型例題四
例4橢圓上不同三點，，與焦點的距離成等差數列．
（1）求證；
（2）若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率．
證明：（1）由橢圓方程知，，．
由圓錐曲線的統一定義知：，
∴ ．
同理 ．
∵ ，且，
∴ ，
即 ．
（2）因為線段的中點為，所以它的垂直平分線方程為
又∵點在軸上，設其座標為，代入上式，得
又∵點，都在橢圓上，
∴∴ ．
將此式代入①，並利用的結論得
∴ ．
典型例題五
例5 已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的座標；若不存在，請說明理由．
解：假設存在，設，由已知條件得
，，∴，．
∵左準線的方程是，
∴．又由焦半徑公式知：，．
∵，∴．
整理得．
解之得或
另一方面
則①與②矛盾，所以滿足條件的點不存在．
說明：（1）利用焦半徑公式解常可簡化解題過程．
（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設存在，根據已知條件進行推理和運算．進而根據推理得到的結果，再作判斷．
（3）本例也可設存在，推出矛盾結論（讀者自己完成）．
典型例題六
例6 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程．
分析一：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為，利用條件求．
解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程為．代入橢圓方程，並整理得
．由韋達定理得．
∵是弦中點，∴．故得．
所以所求直線方程為．
分析二：設弦兩端座標為、，列關於、、、的方程組，從而求斜率：．
解法二：設過的直線與橢圓交於、，則由題意得
①－②得
將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．
所求直線方程為．
說明：（1）有關弦中點的問題，主要有三種型別：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡．
（2）解法二是「點差法」，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率．
（3）有關弦及弦中點問題常用的方法是：「韋達定理應用」及「點差法」．有關二次曲線問題也適用．
典型例題七
例7 求適合條件的橢圓的標準方程．
（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點；
（2）在軸上的乙個焦點與短軸兩端點的聯機互相垂直，且焦距為6．
分析：當方程有兩種形式時，應分別求解，如（1）題中由求出，，在得方程後，不能依此寫出另一方程．
解：（1）設橢圓的標準方程為或．
由已知又過點，因此有
或由①、②，得，或，．故所求的方程為
或．（2）設方程為．由已知，，，所以．故所求方程為．
說明：根據條件求橢圓的標準方程的思路是「選標準，定引數」．關鍵在於焦點的位置是否確定，若不能確定，應設方程或．
典型例題八
例8 橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當為最小值時，求點的座標．
分析：本題的關鍵是求出離心率，把轉化為到右準線的距離，從而得最小值．一般地，求均可用此法．
解：由已知：，．所以，右準線．
過作，垂足為，交橢圓於，故．顯然的最小值為，即為所求點，因此，且在橢圓上．故．所以．
說明：本題關鍵在於未知式中的「2」的處理．事實上，如圖，，即是到右準線的距離的一半，即圖中的，問題轉化為求橢圓上一點，使到的距離與到右準線距離之和取最小值．
典型例題九
例9 求橢圓上的點到直線的距離的最小值．
分析：先寫出橢圓的引數方程，由點到直線的距離建立三角函式關係式，求出距離的最小值．
解：橢圓的引數方程為設橢圓上的點的座標為，則點到直線的距離為
．當時，．
說明：當直接設點的座標不易解決問題時，可建立曲線的引數方程．
典型例題十
例10 設橢圓的中心是座標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，並求橢圓上的點的距離等於的點的座標．
分析：本題考查橢圓的性質、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求的最大值時，要注意討論的取值範圍．此題可以用橢圓的標準方程，也可用橢圓的引數方程，要善於應用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉換、形數結合的思想，提高邏輯推理能力．
解法一：設所求橢圓的直角座標方程是，其中待定．
由可得，即．
設橢圓上的點到點的距離是，則
其中．如果，則當時，（從而）有最大值．
由題設得，由此得，與矛盾．
因此必有成立，於是當時，（從而）有最大值．
由題設得，可得，．
∴所求橢圓方程是．
由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點，點到點的距離是．
解法二：根據題設條件，可取橢圓的引數方程是，其中，待定，，為引數．
由可得，即．
設橢圓上的點到點的距離為，則
如果，即，則當時，（從而）有最大值．
由題設得，由此得，與矛盾，因此必有成立．
於是當時（從而）有最大值．
由題設知，∴，．
∴所求橢圓的引數方程是．
由，，可得橢圓上的是，．
典型例題十一
例11 設，，，求的最大值和最小值．
分析：本題的關鍵是利用形數結合，觀察方程與橢圓方程的結構一致．設，顯然它表示乙個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關係求得最值．
解：由，得
可見它表示乙個橢圓，其中心在點，焦點在軸上，且過（0，0）點和（3，0）點．
設，則它表示乙個圓，其圓心為（－1，0）半徑為．
在同一座標系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當圓過（0，0）點時，半徑最小，即，此時；當圓過（3，0）點時，半徑最大，即，∴．
∴的最小值為0，最大值為15．
典型例題十二
例12 已知橢圓，、是其長軸的兩個端點．
（1）過乙個焦點作垂直於長軸的弦，求證：不論、如何變化，．
（2）如果橢圓上存在乙個點，使，求的離心率的取值範圍．
分析：本題從已知條件出發，兩問都應從和的正切值出發做出估計，因此要從點的座標、斜率入手．本題的第（2）問中，其關鍵是根據什麼去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質：，，根據得到，將代入，消去，用、、表示，以便利用列出不等式．這裡要求思路清楚，計算準確，一氣呵成．
解：（1）設，，．
於是，．
∵是到的角．∴∵
∴故（2）設，則，．
由於對稱性，不妨設，於是是到的角．
∴∵， ∴
整理得∵
∴∵， ∴
∵， ∴
， ∴，
∴或（舍），∴．
典型例題十三
例13 已知橢圓的離心率，求的值．
分析：分兩種情況進行討論．
解：當橢圓的焦點在軸上時，，，得．由，得．
當橢圓的焦點在軸上時，，，得．
由，得，即．
∴滿足條件的或．
說明：本題易出現漏解．排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關係不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上．故必須進行討論．
典型例題十四
例14 已知橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準線的距離．
分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解．
解法一：由，得，，．
由橢圓定義，，得
．由橢圓第二定義，，為到左準線的距離，
∴，即到左準線的距離為．
解法二：∵，為到右準線的距離，，
∴．又橢圓兩準線的距離為．
∴到左準線的距離為．
說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準線的同側性．否則就會產生誤解．
橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特徵，解題時要靈活選擇，運用自如．一般地，如遇到動點到兩個定點的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義．
典型例題十五
例15 設橢圓(為引數)上一點與軸正向所成角，求點座標．
分析：利用引數與之間的關係求解．
解：設，由與軸正向所成角為，
∴，即．
而，，由此得到，，
∴點座標為．
典型例題十六
例16 設是離心率為的橢圓上的一點，到左焦點和右焦點的距離分別為和，求證：，．
分析：本題考查橢圓的兩個定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點到焦點的距離轉化為點到相應準線距離．
解：點到橢圓的左準線的距離，，
由橢圓第二定義，，
∴，由橢圓第一定義，．
說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點弦）的有關問題時，有著廣泛的應用．請寫出橢圓焦點在軸上的焦半徑公式．
典型例題十七
例17 已知橢圓內有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點．
(1) 求的最大值、最小值及對應的點座標；
(2) 求的最小值及對應的點的座標．
分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變數的最值有兩種方法：一是目標函式當，即代數方法．二是數形結合，即幾何方法．本題若按先建立目標函式，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數形結合，就能簡捷求解．
解：(1)如上圖，，，，設是橢圓上任一點，由，，∴，等號僅當時成立，此時、、共線．
由，∴，等號僅當時成立，此時、、共線．
建立、的直線方程，解方程組得兩交點
、．綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值．
(2)如下圖，設是橢圓上任一點，作垂直橢圓右準線，為垂足，由，，∴．由橢圓第二定義知，∴，∴，要使其和最小需有、、共線，即求到右準線距離．右準線方程為．
2019屆高考數學橢圓
第一節橢圓 一.基本知識概要 1 橢圓的兩種定義 平面內與兩定點f1，f2的距離的和等於定長的點的軌跡，即點集m 時為線段，無軌跡 其中兩定點f1，f2叫焦點，定點間的距離叫焦距。平面內一動點到乙個定點和一定直線的距離的比是小於1的正常數的點的軌跡，即點集m p 0 e 1的常數。為拋物線 為雙曲線...
2019橢圓高考真題含詳解
解析 根據橢圓定義知 4a 12,得a 3 又 7.2012高考天津19 本小題滿分14分 已知橢圓,點p在橢圓上。i 求橢圓的離心率。ii 設a為橢圓的右頂點，o為座標原點，若q在橢圓上且滿足 aq ao 求直線的斜率的值。解析 點在橢圓上 設 則 直線的斜率 8.2012高考江蘇19 16分 如...
06 09高考橢圓解答題學生版
橢圓解答題訓練 1.橢圓的兩個焦點f1 f2，點p在橢圓c上，且 f2f1 pf1,p f1 p f2 i 求橢圓c的方程 ii 若直線l過圓x2 y2 4x 2y 0的圓心m交橢圓於a b兩點，且a b關於點m對稱，求直線l的方程。2 已知橢圓的中心在座標原點o，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點...