高一上學期課外基礎訓練題（十）
1. 已知cos+cos2=1，則sin2+sin6+sin8
2. 已知（∈z）.
化簡()且當時
3．已知|logsinαcosα|<|logcosαsinα|(α為銳角)，則α的取值範圍為
4. 函式的值域為函式的值域為
5. 已知3sin2α+2sin2β=2sinα，則sin2α+sin2β的取值範圍為
6. 求的最大值為1時的值。
7．已知函式，求的定義域判斷它的奇偶性，並求其值域.
8. 求函式(-)的單調增區間.
9. 若cos2θ+2msinθ-2m-2<0恆成立,試求實數m的取值範圍.
10. 設是定義在r上的偶函式，其圖象關於對稱，對任意，都有
。（1）設； （2）證明為週期函式。
參***
1. 已知cos+cos2=1，則sin2+sin6+sin8
解：sin2+sin6+sin8=sin2+sin4(sin2+sin4)=sin2+sin4(sin2+cos2)=
sin2+sin4=sin2+cos2=1.
2. 已知（∈z）.
化簡()且當時
解：(1).
(2) 由已知, ∴
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3．已知|logsinαcosα|<|logcosαsinα|(α為銳角)，則α的取值範圍為
解：|logsinαcosα|<|logcosαsinα|，即，即|lgsinα|2>|lgcosα|2,
即|lgsinα|>|lgcosα|.∵lgsinα<0, lgcosα<0, ∴lgsinα4. 函式的值域為函式的值域為
解：(1) ∵sinx≠1,,∵－1≤sinx<1,
∴當sinx=－0.5時，y最小值=－0.5,當sinx=1時，y最大值=4. ∴值域為[－0.5，4].
(2)5. 已知3sin2α+2sin2β=2sinα，則sin2α+sin2β的取值範圍為
解：由已知得sin2β=sinα-sin2α, ① 則有y=sin2α+sin2β=sin2α+sinα-sin2α
=-(sinα-1)2+.由①知0≤sinα-sin2α≤1.解得0≤sinα≤.∵函式y=-(sinα-1)2+
在[0, ]上是增函式，∴當sinα=0時，ymin=0;當sinα=時，ymax=.∴sin2α+sin2β的取值範圍
是[0, ].
6. 求的最大值為1時的值。
解：，∴求函式的最大值為1時a的值等價於求閉區間上的二次函
數的最大值為1時a的值。
（1）當時，即有最大值為，∴(捨去)；
（2）當有最大值為，由題設可知：
(正號舍)；
（3）當有最大值為，由題設=1，∴.
綜上。7．已知函式，求的定義域判斷它的奇偶性，並求其值域.
解：由，得，解得.∴的定義域
為.因為的定義域關於原點對稱.
且,∴是偶函式.當時,.
所以的值域為
8. 求函式(-)的單調增區間.
解:令t=sin(-),則y=lgt.∵y=lgt是增函式,∴原函式的單調增區間是使t>0且t為增函式
的x的範圍.∵t=sin(-)=cos(+),∴只需求出使t=cos(+)>0且t為增函式的x的區間.
於是有2kπ-<+≤2kπ4kπ-∴原函式的增區間為(4kπ-,4kπ-］(k∈z).
9. 若cos2θ+2msinθ-2m-2<0恆成立,試求實數m的取值範圍.
解:令sinθ=t,則-1≤t≤1.要使cos2+2msinθ-2m-2<0恆成立,即sin2θ-2msinθ+2m+1>0恆成立.
設f(t)=t2-2mt+2m+1,則只要f(t)>0在[-1,1]上恆成立即可,由於f(t)=(t-m)2+2m+1-m2(-1≤t≤1),所以只要f(t)的最小值大於零即可.
若m<-1,則當t=-1時,f(t)min=2+4m,令2+4m>0,得m>-,這與m<-1矛盾,故捨去;
若-1≤m≤1,則當t=m時,f(t)min=-m2+2m+1,令-m2+2m+1>0,解得1-若m>1,則當t=1時,f(t)min=2>0,∴m>1.
綜上所述,m>1-.
10. 設是定義在r上的偶函式，其圖象關於對稱，對任意，都有
。（1）設2）證明為週期函式。
解：（1）由，知，∵。
（2）依題意，設對稱，為偶函式，
，這說明是r上的週期函式，且2是它的週期。
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