三角函式的圖象與性質
基礎梳理
1.三角函式的圖象和性質
2.一般地對於函式f(x)，如果存在乙個非零的常數t，使得當x取定義域內的每乙個值時，都有f(x＋t)＝f(x)，那麼函式f(x)就叫做週期函式，非零常數t叫做這個函式的週期，把所有週期中存在的最小正數，叫做最小正週期(函式的週期一般指最小正週期)
對函式週期性概念的理解
週期性是函式的整體性質，要求對於函式整個定義域範圍的每乙個x值都滿足f(x＋t)＝f(x)，其中t是不為零的常數.如果只有個別的x值滿足f(x＋t)＝f(x)，或找到哪怕只有乙個x值不滿足f(x＋t)＝f(x)，都不能說t是函式f(x)的週期.
函式y＝asin(ωx＋φ)和y＝acos(ωx＋φ)的最小正週期為
y＝tan(ωx＋φ)的最小正週期為
3..求三角函式值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
關於正、余弦函式的有界性
由於正余弦函式的值域都是[－1,1]，因此對於x∈r，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上確界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下確界.
(2)形式複雜的函式應化為y＝asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的範圍，根據正弦函式單調性寫出函式的值域；含引數的最值問題，要討論引數對最值的影響.
(3)換元法：把sin x或cos x看作乙個整體，可化為求函式在區間上的值域(最值)問題．
利用換元法求三角函式最值時注意三角函式有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，則y＝(t－2)2＋1≥1，解法錯誤.
5.求三角函式的單調區間時，應先把函式式化成形如y＝asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根據基本三角函式的單調區間，求出x所在的區間.應特別注意，應在函式的定義域內考慮.
注意區分下列兩題的單調增區間不同;利用換元法求復合函式的單調區間(要注意x係數的正負號) (
【點評】求三角函式的最值問題，主要有以下幾種題型及對應解法．
(1)y＝asinx＋bcosx型，可引用輔角化為y＝sin(x＋φ)(其中tanφ＝)．
(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型，可通過降次整理化為y＝asin2x＋bcos2x＋c.
(3)y＝asin2x＋bcosx＋c型，可換元轉化為二次函式．
(4)sinxcosx與sinx±cosx同時存在型，可換元轉化．
(5)y＝(或y＝)型，可用分離常數法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)來解決，也可化為真分式去求解．
(6)y＝型，可用斜率公式來解決
三角函式的影象與性質熱身練習:
1．函式y＝cos，x∈r( )．
a．是奇函式b．既不是奇函式也不是偶函式
c．是偶函式d．既是奇函式又是偶函式
2．函式y＝tan的定義域為( )．
a. b.
c. d.
3．函式y＝sin(2x＋)的圖象的對稱軸方程可能是( )
a．xb．xc．x＝ d．x＝
4．y＝sin的圖象的乙個對稱中心是( )．
a．(－π，0bcd.
5．下列區間是函式y＝2|cos x|的單調遞減區間的是
a.(0bcd.
6．已知函式f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數，若f(x)≤|f()|對任意x∈r恆成立，且f()>f(π)，則f(x)的單調遞增區間是( )
a．[kπ－，kπ＋](k∈z) b．[kπ，kπ＋](k∈z)
c．[kπ＋，kπ＋](k∈z) d．[kπ－，kπ](k∈z)
7.函式f(x)＝cosx∈r的最小正週期為________．
8..y＝2－3cos的最大值為________，此時x
9．函式y＝(sinx－a)2＋1，當sinx＝1時，y取最大值；當sinx＝a時，y取最小值，則實數______
10．函式f(x)＝sin2x＋sinxcosx在區間[，]上的最大值是
題型一與三角函式有關的函式定義域問題
例1 求下列函式的定義域：
(1)y＝lgsin(cos x2)y＝.
變式訓練1 (1)求函式的定義域；
(2)求函式的定義域.
題型二、三角函式的五點法作圖及圖象變換
例2已知函式f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
(1)用五點法作出f(x)在乙個週期內的簡圖；
(2)該函式圖象可由y＝sinx(x∈r)的圖象經過怎樣的平移變換與伸縮變換得到？
題型三三角函式圖象與解析式的相互轉化
例3函式f(x)＝asin(ωx＋φ)(x∈r，a>0，ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)設g(x)＝[f(x－)]2，求函式g(x)在
x∈[－，]上的最大值，並確定此時x的值．．(
例4若方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有兩個不同的實數根x1，x2，求a的取值範圍，並求此時x1＋x2的值．
例4已知函式f(x)＝asin(ωx＋φ)，x∈r(其中a＞0，ω＞0，0＜φ＜)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上乙個最低點為m(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)將函式f(x)的圖象向右平移個單位後，再將所得圖象上各點的橫座標縮小到原來的，縱座標不變，得到y＝g(x)的圖象，求函式y＝g(x)的解析式，並求滿足g(x)≥且x∈[0，π]的實數x的取值範圍．
題型四 、三角函式的奇偶性與週期性及應用
例1已知函式f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜.
(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的條件下，若函式f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等於，求函式f(x)的解析式；並求最小正實數m，使得函式f(x)的圖象向左平移m個單位後所對應的函式是偶函式．
題型五三角函式的單調性與週期性
例2 寫出下列函式的單調區間及週期：
(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|.
(2)已知函式f(x)＝4cos xsin－1.
①求f(x)的最小正週期； ②求f(x)在區間上的最大值和最小值.
題型六、三角函式的對稱性與單調性及應用
例2已知向量＝(sin2x－1，cosx)，＝(1,2cosx)，設函式f(x)＝，x∈r.
(1)求函式f(x)圖象的對稱軸方程； (2)求函式f(x)的單調遞增區間．
題型七三角函式的對稱性與奇偶性
例3 (1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈r)，函式y＝f(x＋φ)的圖象關於直線x＝0對稱，則φ的值為________.
(2)如果函式y＝3cos(2x＋φ)的圖象關於點中心對稱，那麼|φ|的最小值為( )
abcd.
變式訓練3 (1)已知函式f(x)＝sinx＋acos x的圖象的一條對稱軸是x＝，則函式g(x)＝asin x＋cos x的最大值是 ( )
abcd.
(2)若函式f(x)＝asin ωx＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的圖象的一條對稱軸方程是x＝，函式f′(x)的圖象的乙個對稱中心是，則f(x)的最小正週期是________.
題型八三角函式的值域與最值的求法及應用
例3(1)求函式y＝的值域；
(2)求函式y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最值；
(3)若函式f(x)＝－asin·cos(π－)的最大值為2，試確定常數a的值．
．例4已知函式f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈r，a為常數)，且是函式y＝f(x)的乙個零點．
(1)求a的值，並求函式f(x)的最小正週期；
(2)當x∈[0，]時，求函式f(x)的最大值和最小值及相應的x的值．
一、選擇題
1．對於函式f(x)＝2sinxcosx，下列選項正確的是( )
a．f(x)在(，)上是遞增的 b．f(x)的圖象關於原點對稱
c．f(x)的最小正週期為2π d．f(x)的最大值為2
【解析】f(x)＝sin2x
f(x)在(，)上是遞減的，a錯； f(x)的最小正週期為π，c錯；
f(x)的最大值為1，d錯；選b.
2．若α、β∈(－，)，那麼「α＜β」是「tanα＜tanβ」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分又不必要條件
【解析tanx在此區間上單調遞增．
當α＜β時，tanα＜tanβ；當tanα＜tanβ時，α＜β.故選c.
3．已知函式f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正週期為π，將該函式的圖象向左平移個單位後，得到的圖象對應的函式為奇函式，則f(x)的圖象( )
三角函式影象與性質知識點總結和經典題型
1 正弦函式 余弦函式 正切函式的影象 2 三角函式的單調區間 的遞增區間是，遞減區間是 的遞增區間是，遞減區間是，的遞增區間是，3 函式 最大值是，最小值是，週期是，頻率是，相位是，初相是 其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。4 由y sinx的圖象變換出y sin ...
三角函式影象與性質知識點總結和經典題型 已打
1 正弦函式 余弦函式 正切函式的影象 2 三角函式的單調區間 的遞增區間是，遞減區間是 的遞增區間是，遞減區間是，的遞增區間是，3 函式 最大值是，最小值是，週期是，頻率是，相位是，初相是 其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。4 由y sinx的圖象變換出y sin ...
2023年高三三角函式性質與影象知識點及典型例題
09級高三數學總複習講義 三角函式性質與影象知識清單 反三角函式符號的運用 注意 反三角數符號只表示這個範圍的角，其他範圍的角需要用誘導公式變到這個範圍.備註 以上性質的理解記憶關鍵是能想象或畫出函式圖象.函式的影象和性質以函式為基礎,通過影象變換來把握.如 a 0,0 相應地，的單調增區間 的解集...