函式的性質(2)
1.已知定義在r上的奇函式，滿足,且在區間[0,2]上是增函式,則d
ab.cd.
答案 d
解析因為滿足,所以,所以函式是以8為週期的週期函式, 則,,,又因為在r上是奇函式， ,得,,而由得,又因為在區間[0,2]上是增函式,所以,所以,即,故選d.
2.定義在r上的偶函式滿足：對任意
的，有.
則當時,有c )
(abc. cd.
答案 c
3.已知函式是定義在實數集r上的不恒為零的偶函式，且對任意實數都有，則的值是a )
a. 0bc. 1d.
答案 a
解析若≠0，則有，取，則有：
（∵是偶函式，則 ）
由此得於是，
4.已知定義在r上的奇函式，滿足,且在區間[0,2]上是增函式,若方程f(x)=m(m>0)在區間上有四個不同的根,則
答案 -8
解析因為定義在r上的奇函式，滿足,所以,所以, 由為奇函式,所以函式圖象關於直線對稱且,由知,所以函式是以8為週期的週期函式,又因為在區間[0,2]上是增函式,所以在區間[-2,0]上也是增函式.如圖所示,那麼方程f(x)=m(m>0)在區間上有四個不同的根,不妨設由對稱性知所以
【命題立意】:本題綜合考查了函式的奇偶性,單調性,
對稱性,週期性,以及由函式圖象解答方程問題,
運用數形結合的思想和函式與方程的思想解答問題.
5.函式的定義域是，若對於任意的正數，函式都是其定義域上的增函式，則函式的圖象可能是a
6.給出定義：若(其中為整數)，則叫做離實數最近的整數，記作，即. 在此基礎上給出下列關於函式的四個命題：
①函式的定義域是r，值域是[0，]；
②函式的影象關於直線對稱；
③函式是週期函式，最小正週期是1；
④ 函式在上是增函式；
則其中真命題是答案 ①②③
7.設a為常數，.若函式為偶函式，則答案 2,8
8.已知在區間上是增函式，在區間上是減函式，又．
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）若在區間上恒有成立，求的取值範圍．
8.（ⅰ），由已知，
即解得，，，．
（ⅱ）令，即，
，或．又在區間上恆成立，．
9設是定義在r上的函式，對、恒有，且當時，。
（1）求證2）證明：時恒有；
（3）求證：在r上是減函式； （4）若，求的範圍
：(1)取m=0，n=則，因為所以
(2)設則
由條件可知
又因為，所以
∴時，恒有
（3）設則= =
因為所以所以即
又因為，所以
所以，即該函式在r上是減函式.
(4) 因為，所以
所以，所以
10.設函式定義在r上，對於任意實數，總有，且當時，。（1）證明：，且時
（2）證明：函式在r上單調遞減
（3）設，若，確定的取值範圍。
（1）解：令，則，對於任意實數恆成立，
設，則，由得，
當時， 當時, ,
（2）證法一：設，則，
,函式為減函式
證法二：設，則=,
故 ,函式為減函式
（3）解：∵， ∴
若，則圓心到直線的距離應滿足，解之得
， 11.已知定義在r上的函式滿足：，當x＜0時，。
（1）求證：為奇函式；（2）求證：為r上的增函式；
（3）解關於x的不等式：。（其中且a為常數）
解：（1）由，令，得：
，即再令，即，得：
是奇函式………………4分
（2）設，且，則
由已知得：
即在r上是增函式………………8分
（3）即當，即時，不等式解集為
當，即時，不等式解集為
當，即時，不等式解集為………………13分
12.設函式，其中
（1）解不等式
（2）求的取值範圍，使在區間上是單調減函式。
解：（1）不等式即為
當時，不等式解集為
當時，不等式解集為
當時，不等式解集為
（2）在上任取，則
所以要使在遞減即，只要即
故當時，在區間上是單調減函式。
13.設函式在上滿足，，且在閉區間［0，7］上，只有．
（ⅰ）試判斷函式的奇偶性；
（ⅱ）試求方程在閉區間上的根的個數，並證明你的結論．
【答案】
解：（ⅰ）∵，
∴即 ，∵在［0，7］上，只有，
∴，∴，
∴是非奇非偶函式．
（ⅱ）由，令，得 ，
由，令，得 ,
∴，∴是以10為週期的週期函式，
由得，的圖象關於對稱，
∴在［0，11］上，只有，
∴10是的最小正週期，
∵在［0，10］上，只有，
∴在每乙個最小正週期內只有兩個根，
∴在閉區間上的根的個數是．
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