1、（本題5分）試確定作為的近似值具有幾位有效數字，並確定其相對誤差限。
解因為 =3.142857…=
3.141592…
所以2分）
這裡，由有效數字的定義可知作為的近似值具有3位有效數字1分）
而相對誤差限
2分）3、（本題6分）給定線性方程組
1）寫出jacoib迭代格式和gauss-seidel迭代格式；
2）考查jacoib迭代格式和gauss-seidel迭代格式的斂散性；
解 1）jacoib迭代格式為
2分）gauss-seidel迭代格式為
2分）2）由於所給線性方程組的係數矩陣
是嚴格對角佔優的，所以jacoib迭代格式和gauss-seidel迭代格式均是收斂的。（2分）
4、（本題6分）已知方程
在附近有乙個根。將此方程改寫成如下2個等價形式：
構造如下兩個迭代格式：
1）2）
判斷這兩個迭代格式是否收斂；
解 1）記，則，
2分） 所以該迭代格式是區域性收斂的1分）
2）記，則，
2分） 所以該迭代格式是發散的1分）
5、（本題6分）設
（1）寫出解的牛頓迭代格式；
（2）證明此迭代格式是線性收斂的。
解 （1）因，故，由牛頓迭代公式
1分） 得2分）
（2）因迭代函式，
1分）故
此牛頓迭代格式是線性收斂的2分）
6、（本題9分）給定資料
（1） 寫出的3次lagrange插值多項式；
（2） 寫出的3次newton插值多項式；
解 （1）由題意知
3分）2分）
（2）用牛頓插值公式，構造差商表
則有1分）7、（本題6分）作乙個5次多項式使得
解構造有重節點的牛頓插商表
4分） 則有
2分）8、（本題6分）已知資料如下，試用二次多項式來擬合：
解設，則上表可化為
這時，取，並設所求二次多項式為
，容易得到
，， ，，
3分） 得正規方程組如下：
解得即2分）
回代得1分）
12、（本題6分）設為次多項式，為個互異點，為的次插值多項式。若，試證。
解：因為為次多項式，所以2分）
又因為，故有2分）
由插值關係可知2分）
所以，13、（本題10分）設，求及譜半徑。
解由定義得
2分）2分）
又由於，而
2分）所以2分）
因為所以2分
15、（本題9分）給定矩陣試用冪法求出的按模最大的特徵值，精確至5位有效數
解冪法計算公式：取，作如下迭代：
，，，其中表示中（首次出現的）絕對值最大的分量，則
1分） 計算如下：
2分）2分）
2分）2分）
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第一學期《數值分析》試卷A卷答案
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