數值分析基礎概念及備用知識
一、利用計算機解決科學計算問題步驟：
二、誤差的**：
1、模型誤差：數學模型與描述的實際問題之間的誤差。
2、觀測誤差：由觀測得到的參量產生的誤差。
3、截斷誤差（方法誤差）：在構造數值計算方法時，用有限過程代替無限過程或用容易計算的方法代替不容易計算的方法，得到的近似解與精確解之間的誤差。
4、捨入誤差（計算誤差）：對原始資料、中間計算結果和最後計算結果取有限位數代替無限位數進行計算所產生的誤差。
三、誤差的基本概念：
1、絕對誤差（誤差）：設為準確值，為的乙個近似值，定義
為近似值的絕對誤差或簡稱誤差。
2、相對誤差：設為準確值，為的乙個近似值，定義
或（在與相差甚微時）
為近似值的相對誤差。
3、絕對誤差界（誤差界）：設為準確值，為的乙個近似值，如果能對的絕對誤差作出估計，使得
則稱為的絕對誤差界，簡稱誤差界。
4、相對誤差界：設為準確值，為的乙個近似值，如果能對的相對誤差作出估計，使得
則稱為的相對誤差界。
四、有效數字：
1、設為的乙個近似值，如果的誤差絕對值不超過其某位數字的半個單位，而該數字到的第一位非零數字共有位，則稱是的具有位有效數字的近似值，簡稱有位有效數字。
2、設的近似值表示成規格化的形式
如果有則稱是的有位有效數字的近似值，簡稱有位有效數字。
3、設的非零近似值記為規格化形式，其中為整數，，則：
（1）如果有位有效數字，則
（2）如果
則至少有位有效數字。
4、將任何數乘以，相當於移動該數的小數點，並不影響其有效數字的位數，故有效數字的位數與小數點的位置無關。
五、數值運算的誤差估計：
1、兩個近似數和，其誤差限分別為和，它們進行加、減、乘、除運算得到的誤差限分別為
2、一元函式誤差：設在的領域上2階連續可導，利用2階taylor公式可得則
3、一元函式誤差限：。
4、多元函式誤差：當是多元函式時，如果的近似值為，的近似值為，利用taylor展開，得
5、多元函式誤差限
多元函式相對誤差限
六、數值運算原則：1、採用收斂穩定的計算方法；2、慎重處理病態的數學問題；3、注意簡化計算步驟減少運算次數；4、避免兩個相近的數相減；5、避免相對很小的數做除數；6、防止大數吃小數。
七、計算量：乙個演算法所需要的乘法和除法的總次數（計算機做加減法要比乘除法快得多，故演算法的計算量可以不考慮加減法）。
八、矩陣相關概念：
1、矩陣的譜半徑：設，的特徵值，則的全體特徵值稱為的譜，這些特徵值的模的最大值，稱為的譜半徑，記為。
2、向量範數：
（1）向量範數：設向量，若與對應的乙個實值函式滿足下列條件：①；②；③，則稱是上的乙個向量範數。
（2）1-範數：
（3）-範數：
（4）2-範數：
（5）-範數：
（6）設和是上向量的任意兩種範數，則對於一切，存在常數，使得：
3、矩陣範數：
（1）矩陣範數：設矩陣，若與對應的乙個實值函式滿足下列條件：①；②；③；④，則稱是上的乙個矩陣範數。（範數、運算元範數）
（2）運算元範數：設，給出一種向量範數(如)，相應的定義乙個矩陣的非負函式
稱為的運算元範數。（行範數、列範數、2-範數）
（3）行範數：
（4）列範數：
（5）2-範數：，其中，為的譜半徑，當是對稱矩陣時，
（6）範數：，其中，為矩陣的跡（即對角元素值和）
（7），即的譜半徑不超過的任何一種運算元範數
（8）如果，則為非奇異方陣，且
九、病態問題與條件數：
1、對於函式，由，和，因子和分別反映了誤差和相對誤差對計算結果的影響程度，稱為條件數，記為c或cond。
2、對於乙個數值問題，當輸入資料（初始資料）有微小擾動時，計算結果對之很敏感，即條件數很大，稱這個問題是病態的；當初始資料有微小擾動時，計算結果對之不敏感，即條件數不大，稱這個問題是良態的。
數值分析報告
姓名 學號 任課教師 實驗一第1章.線性方程組的數值實驗第一題 一 問題 對從2到9的每乙個n值，解n階方程組 在這裡和如下定義 其中解釋發生的現象。2 實驗原理 gauss消去法 設矩陣，向量，把方程組寫成 1 順序消去過程 假設，令 做運算將變換為 其中 這樣就得到與等價的方程組.其中第一行與第...
數值分析總結
1章引論 2章非線性方程求根 3章解線性方程組的直接法 4章解線性方程組的迭代法 5章插值法 6章數值積分 7章常微分方程的數值解法 第2章非線性方程的迭代法 方程求根與二分法 迭代法迭代收斂的加速方法 牛頓法弦截法 第3章解線性代數方程組的直接法 第4章解線性代數方程組的迭代法 線性方程組的兩類解...
數值分析 求
怎麼計算 的值 用萊布尼茲公式 韋達公式和斯特林公式分別迭代，當結果與 確切值之間誤差小於0.005時結束迭代，通過分析三個公式的迭代次數得出最優的迭代公式。1 萊布尼茲公式 根據數列得出 通過程式實現如下 for n 1 1000 na n 1 n 1 2 n 1 y vpa 4 sum a 30...