中國礦業大學2011～2012學年第1學期
《 數值分析 》試卷
一（15分） 設線性方程組為。
（1）用lu分解法求解該方程組；
（2）建立求解該方程組的jacobi迭代公式與gauss-seidel迭代公式；
（3）判別jacobi迭代公式與gauss-seidel迭代公式的收斂性，哪個收斂更快。
解：（1）將方程組改寫成矩陣形式有
，記為的lu分解：
， 先由方程組求得，再由方程組求得。
（2）jacobi迭代：
將原方程改寫為
，建立jacobi迭代為：
同理建立g-s迭代：
（3）jacobi矩陣=的特徵方程為
，從而，所以。
對於g-s迭代矩陣有
從而，即有，都收斂，後者更快。
二（10分） 設
（1）用householder變換計算的qr分解；
（2）用qr分解求的最小二乘解。
解首先qr分解。
， 的qr分解（簡約型）為
其次，求三角方程組即
得三（10分） 根據下面資料求形如的最小二乘擬合曲線
解取基函式，令
記，求解法方程組，即
得，最小二乘似合曲線為
四（15分） 已知方程。
（1）證明該方程有唯一的實根；
（2）寫出求該方程根的newton迭代法；
（3）說明該迭代法的區域性收斂階數是多少。
解 （1）令
由，知為嚴格遞增函式。
由於，，
從而方程在間有唯一的實根。
（2）（3），，收斂階
五（15分） 設微分方程為。
（1）把該微分方程改寫為一階常微分方程組的初值問題；
（2）寫出用r-k法：
求解的迭代公式。
解 （1）令，則
（2）記
六（15分） 設矩陣。用古典jacobi迭代法求的全部特徵值。
解 （1）首先取
，， 從而可有givens矩陣：，
所以（2）再取，
，， 從而可有givens矩陣
即得到：
所以a的特徵值可取
七（10分） （1）如果求積公式中的求積係數都是正的，證明該公式一定是數值穩定的。
（2）證明gauss求積公式中的求積係數（其中為lagrange插值基函式），由此說明gauss求積公式都是數值穩定的。
解 （1）設有誤差，記，則由此引起的計算誤差為
如果很小的話，所引起的計算誤差也很小，即是數值穩定的。
（2）因gauss型求積公式的代數精度達到，而是次多項式，為次多項式，故該公式對精確成立。從而
（這裡用到了）。
又是不恆等於零的連續函式，故
八（10分） 設，若對上的某一運算元範數有，
（1）證明：可逆；
（2）證明：。
證（1）反證。假設不可逆，則線性方程組有非零解，因此
（這裡是矩陣範數對向量使用）。這是乙個矛盾不等式。故可逆。
（2）再由得
兩邊取範數，並利用範數的三角不等式及相容性得
對上式整理便得不等式。
注：如果矩陣範數取為運算元範數，此時，。
數值分析試卷
第一套一 8分 用列主元素消去法解下列方程組 二 10分 依據下列資料構造插值多項式 y 0 1,y 1 2,0 1,1 4 三 12分 分別用梯形公式和辛普生公式構造復化的梯形公式 復化的辛普生公式並利用復化的梯形公式 復化的辛普生公式計算下列積分 n 4四 10分 證明對任意引數t，下列龍格 庫...
北師大數值分析作業
1 設下列各數均為經過四捨五入後得到的近似值，試求各數的絕對誤差限和相對誤差限。2 已知是經過四捨五入後得到的近似值，問有幾位有效數字？3 計算球的體積，為使其相對誤差限為1 測量半徑r時，相對誤差最大為多少？1 分別用gauss消去法 列主元素法和全主元素法解下列方程組，計算過程保留3位小數。2 ...
數值分析試卷及其答案
1 本題5分 試確定作為的近似值具有幾位有效數字，並確定其相對誤差限。解因為 3.142857 3.141592 所以2分 這裡，由有效數字的定義可知作為的近似值具有3位有效數字1分 而相對誤差限 2分 3 本題6分 給定線性方程組 1 寫出jacoib迭代格式和gauss seidel迭代格式 2...