1.如圖，設a是稜長為a的正方體的乙個頂點，過從此頂點出發的三條稜的中點作截面，截面與正方體各面共同圍成乙個多面體，則關於此多面體有以下結論，其中錯誤的是( )
a．有10個頂點 b．體對角線ac1垂直於截面
c．截面平行於平面cb1d1 d．此多面體的表面積為a2
解析此多面體的表面積s＝6a2－3××a×a＋
×a×a×＝a2＋a2＝a2.故選d
2．(2012·福建寧德二模)如圖是乙個多面體的三檢視，則其全面積為( )
ab.＋6
c.＋6 d.＋4
解析由幾何體的三檢視可得，此幾何體是正三稜柱，其全面積為s＝3×()2＋2××()2×sin60°＝6＋.故選c.
3．(2012·江西撫州一中模擬)如圖是乙個幾何體的三檢視，根據圖中資料，可得該幾何體的表面積是( )
a．22π b．12c．4π＋24 d．4π＋32
解析由幾何體的三檢視可得，此幾何體是上面乙個球、下面乙個長方體組成的幾何體，此幾何體的表面積s＝4π×12＋2×2×2＋8×3＝4π＋32.故選d.
5．(2012·江蘇啟東中學模擬)乙個與球心距離
為1的平面截球體所得的圓面面積為π，
則球的體積為( )
a. b. c. d．8π
解析由題意，球的半徑為r＝＝，故其體積v＝π()3＝，選a.
6．(2012·福建福鼎一中模擬)如圖，在正方體abcd－a1b1c1d1中，e是ad的中點，則異面直線c1e與bc所成的角的余弦值是( )
a. b. c. d.
解析因為bc∥b1c1，故∠ec1b1即為異面直線c1e與bc所成的角，在△eb1c1中，由餘弦定理可得結果，選c.
8.(2012·安徽皖南八校聯考)設m，n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面，有以下四個命題：
①β∥γ；② mm∥α.其中正確的命題是( )
a．①④ b．②③
c．①③ d．②④
解析由定理可知①③正確，②中m與β的位置關係不確定，④中可能mα.故選c.
10.(2012·南昌一模)在稜長為a的正方體abcd－a1b1c1d1中，m為ab的中點，則點c到平面a1dm的距離為( )
a. a b. a
c. a d. a
解析設點c到平面a1dm的距離為h，則由已知得dm＝a1m＝＝a，a1d＝a，s△a1dm＝×a×＝a2，連線cm，s△cdm＝a2，由vc－a1dm＝va1－cdm，得s△a1dm·h＝s△cdm·a， a2·h＝a2·a，所以h＝a，即點c到平面a1dm的距離為a，選a
11．(2012·山東平邑一中模擬)設a，b，c是空間三條直線，α，β是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是( )
a．當c⊥α時，若c⊥β，則α∥β
b．當bα時，若b⊥β，則α⊥β
c．當bα，且c是a在α內的射影時，若b⊥c，則a⊥b
d．當bα，且cα時，若c∥α，則b∥c
解析寫出逆命題，可知b中b與β不一定垂直．選b
二、填空題
13.(2012·廣東珠海二模)乙個五面體的三檢視如圖，正檢視與側檢視都是等腰直角三角形，俯檢視為直角梯形，部分邊長如圖所示，則此五面體的體積為________
解析由三檢視可知，此幾何體是乙個底面為直角梯形，有一條側稜垂直於底面的四稜錐，其體積為v＝××(1＋2)×2×2＝2.
15．(2012·江西贛州聯考)三稜錐s－abc中，∠sba＝∠sca＝90°，△abc是斜邊ab＝a的等腰直角三角形，則以下結論中：
①異面直線sb與ac所成的角為90°；
②直線sb⊥平面abc；
③平面sbc⊥平面sac；
④點c到平面sab的距離是a.
其中正確結論的序號是________．
解析由題意知ac⊥平面sbc，故ac⊥sb，sb⊥平面abc，平面sbc⊥平面sac，①、②、③正確；取ab的中點e，連線ce，可證得ce⊥平面sab，故ce的長度即為c到平面sab的距離a，④正確．
答案 ①②③④
16．(2012·南京一模)如圖，在正三稜柱abc—a1b1c1中，d為稜aa1的中點，若截面△bc1d是面積為6的直角三角形，則此三稜柱的體積為________．
解析設正三稜柱的底面邊長為a，高為2h，則bd＝c1d＝，bc1＝，由△bc1d是面積為6的直角三角形，得，解得，故此三稜柱的體積為v＝×8×sin60°×4＝8
三、解答題
17．(本小題滿分12分)
(2012·北京)如圖1，在rt△abc中，∠c＝90°，bc＝3，ac＝6，d，e分別是ac，ab上的點，且de∥bc，de＝2.將△ade沿de折起到△a1de的位置，使a1c⊥cd，如圖2.
(1)求證：a1c⊥平面bcde；
(2)若m是a1d的中點，求cm與平面a1be所成角的大小；
(3)線段bc上是否存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說明理由．
解 (1)因為ac⊥bc，de∥bc，
所以de⊥ac.
所以ed⊥a1d，de⊥cd，所以de⊥平面a1dc.
所以de⊥a1c.
又因為a1c⊥cd.
所以a1c⊥平面bcde.
(2)如圖，以c為座標原點，建立空間直角座標系c—xyz，則a1(0,0，2)，d(0,2,0)，m(0,1，)，b(3,0,0)，e(2,2,0)．
設平面a1be的法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝0，n·＝0.
又＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)，所以
令y＝1，則x＝2，z＝.
所以n＝(2,1，)．
設cm與平面a1be所成的角為θ.
因為＝(0,1，)，
所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
所以cm與平面a1be所成角的大小為.
(3)線段bc上不存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直，理由如下：
假設這樣的點p存在，設其座標為(p,0,0)，其中p∈[0,3]．
設平面a1dp的法向量為m＝(x，y，z)，則m·＝0，m·＝0.
又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，所以
令x＝2，則y＝p，z＝.所以m＝.
平面a1dp⊥平面a1be，當且僅當m·n＝0時成立，
即4＋p＋p＝0.解得p＝－2，與p∈[0,3]矛盾．
所以線段bc上不存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直．
18．(本小題滿分12分)
(2012·遼寧)如圖，直三稜柱abc—a′b′c′，∠bac＝90°，ab＝ac＝λaa′，點m，n分別為a′b和b′c′的中點．
(1)證明：mn∥平面a′acc′；
(2)若二面角a′—mn—c為直二面角，求λ的值．
解 (1)解法一：如圖，連線ab′，ac′，由已知∠bac＝90°，ab＝ac，三稜柱abc—a′b′c′為直三稜柱，所以m為ab′中點．
又因為n為b′c′的中點，所以mn∥ac′.
又mn平面a′acc′，ac′平面a′acc′，因此mn∥平面a′acc′
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