第一講二次函式的定義
知識點歸納：二次函式的定義：一般地，如果是常數，，那麼叫做的二次函式. 二次函式具備三個條件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是乙個自變數的二次式；（3）二次項係數不為0
考點：二次函式的二次項係數不為0，且二次函式的表示式必須為整式
例1、 函式y=（m＋）x＋2x－1是二次函式，則m
例2、 下列函式中是二次函式的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
訓練題:
1、已知函式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常數），當a 時，是二次函式；當a ，b 時，是一次函式；當a ，b ，c 時，是正比例函式．
2、請你分別給a，b，c乙個值，讓為二次函式，且讓一次函式y=ax+b的影象經過
一、二、三象限
第二講二次函式的影象和性質
知識點歸納：
1、求拋物線的頂點、對稱軸的方法
（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
（2）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上對稱點的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
2、二次函式的圖象及性質：
（1）二次函式y=ax2 (a≠0）的圖象是一條拋物線，其頂點是原點，對稱軸是y軸；當a＞0時，拋物線開口向上，頂點是最低點；當a＜0時，拋物線開口向下，頂點是最高點；a越小，拋物線開口越大．
（2）二次函式的圖象是一條對稱軸平行y軸或者與y軸重合的拋物線．要會根據對稱軸和影象判斷二次函式的增減情況。
3、圖象的平移：左加右減，上加下減
例1、例2、已知直線y=－2x＋3與拋物線y=ax2相交於a、b兩點，且a點座標為（－3，m）．
（1）求a、m的值；
（2）求拋物線的表示式及其對稱軸和頂點座標；
（3）x取何值時，二次函式y=ax2中的y隨x的增大而減小；
（4）求a、b兩點及二次函式y=ax2的頂點構成的三角形的面積．
訓練題:
1．拋物線y=－4x2－4的開口向 ，當x= 時，y有最值，y= ．
2．拋物線y=－3x2上兩點a（x，－27），b（2，y），則x= ，y= ．
3．當m= 時，拋物線y=（m＋1）x＋9開口向下，對稱軸是 ．在對稱軸左側，y隨x的增大而 ；在對稱軸右側，y隨x的增大而 ．
第三講函式的圖象特徵與a、b、c的關係
知識點：a看開口方向，c看與y軸的交點位置，b結合a、看對稱軸的位置。
例1、已知二次函式（）的圖象如圖所示，有下列四個結論：④，其中正確的個數有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
例2、已知二次函式的圖象如圖所示，有以下結論其中所有正確結論的序號是（ ）
abcd．①②③④⑤
訓練題1.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號為（ ）
>0,b>0,c>0 >0,b>0,c=0
>0,b<0,c=0 >0,b<0,c<0
2.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象2如圖所示，則下列結論正確的是（ ）
a．a+b+c> 0b．b> -2a
c．a-b+c> 0d．c< 0
3.拋物線y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的圖象如圖3，有以下結論：
①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正確的為
abcd．①③⑤
4.已知二次函式y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，則它的圖象可能是圖所示的( )
第四講二次函式的交點問題
知識點：二次函式與x軸、y軸的交點的求法：分別令y=0,x=0；二次函式與一次及反比例函式等的相交：聯立兩個函式表示式，解方程.
例1、已知拋物線y＝x2-2x-8，
（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點，並求出這兩個交點的座標。
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為a、b，且它的頂點為p，求△abp的面積
例2、如圖，直線ι經過a（3，0），b（0，3）兩點，且與二次函式y=x2＋1的圖象，在第一象限內相交於點c．求：
（1）△aoc的面積；
（2）二次函式圖象頂點與點a、b組成的三角形的面積．
練習題1．拋物線y=a（x－2）（x＋5）與x軸的交點座標為
2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那麼拋物線y=ax2＋bx＋c經過象限．
3拋物線y=2x2＋8x＋m與x軸只有乙個交點，則m
4已知拋物線y=ax2＋bx＋c的係數有a－b＋c=0，則這條拋物線經過點
5拋物線y=3x2＋5x與兩座標軸交點的個數為（ ）
a．3個b．2個c．1個d．無
6已知二次函式y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）當實數k為何值時，圖象經過原點？
（2）當實數k在何範圍取值時，函式圖象的頂點在第四象限內？
第五講函式解析式的求法
例1、已知拋物線上任意三點時，通常設解析式為一般式y=ax2+bx+c，然後解三元方程組求解；
1．已知拋物線過a（1，0）和b（4，0）兩點，交y軸於c點且bc＝5，求該二次函式的解析式。
例2、已知拋物線的頂點座標，或拋物線上縱座標相同的兩點和拋物線上另一點時，通常設解析式為頂點式y=a(x－h)2+k求解。
2已知二次函式的圖象的頂點座標為（1，－6），且經過點（2，－8），求該二次函式的解析式。
例3、已知拋物線與軸的交點的座標時，通常設解析式為交點式y=a(x－x1)(x－x2)。
3二次函式的圖象經過a（－1，0），b（3，0），函式有最小值－8，求該二次函式的解析式。
訓練題1．若拋物線y=ax2+bx+c的頂點座標為（1，3），且與y=2x2的開口大小相同，方向相反，則該二次函式的解析式
2．據下列條件求關於x的二次函式的解析式
（1） 當x=3時，y最小值=－1，且圖象過（0，7）
（2） 圖象過點（0，－2）（1，2）且對稱軸為直線x=
（3） 圖象經過（0，1）（1，0）（3，0）
（4） 當x=1時，y=0; x=0時,y= －2，x=2 時，y=3
（5） 拋物線頂點座標為（－1，－2）且通過點（1，10）
第六講一元二次函式的應用
例1某商場將進價為40元的某種服裝按50元售出時，每天可以售出300套．據市場調查發現，這種服裝每提高1元售價，銷量就減少5套，如果商場將售價定為x，請你得出每天銷售利潤y與售價的函式表示式．
例2某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定採取適當的降價措施．經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．
（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？
（2）每件襯衫降低多少元時，商場平均每天盈利最多？
訓練題：
1、 周長為60cm的矩形，設其一邊為xcm，則當x=_____時，矩形面積最大，為_______.
2．圖，有長為24公尺的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的長方形的花圃，且花圃的長可借用一段牆體。（牆體的最大可用長度a=10公尺）設ab=，長方形abcd的面積為
（1） 求s與x的函式關係式；
（2） 如果要圍成面積為45平方公尺更大的花圃，ab的長是多少公尺？
（3） 能圍成面積比45平方公尺更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，並說明圍法；如果不能，請說明理由。
3.訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產品，已知每件產品的進價40元，每年銷售該產品的總開支（不含進價）總計120萬元，在銷售過程中發現，年銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間存在著如圖所示的一次函式關係。
（1） 求y關於x的函式關係式；
（2） 試寫出該公司銷售該種產品的年獲利z（萬元）關於銷售單價x（元）的函式關係式（年獲利=年銷售額-年銷售產品總進價-年總開支），當銷售單價x為何值時，年獲利最大？並求這個最大值；
（3） 若公司希望這種產品一年的銷售獲利不低於40萬元，借助（2）中函式的影象，請你幫助該公司確定銷售單價的範圍，在此情況下，要使產品銷售量最大你認為銷售單價應定為多少元？
練習一、填空題：
1.已知二次函式 ，當x>5時，y隨x增大而增大；當x<5時，y隨x增大而減小，則 a
2拋物線與x軸的兩個交點為a，b，與y軸交點為c，則sδabc
3二交函式的圖象如右圖所示，則a _____ 0, b____ 0 ,c____ 0, a+b+c ______ 0
4物線向左平移1個單位，向下平移兩個單位後的解析式為（ ）
ab.cd.
三、解答題：
1、若拋物線向左平移3個單位，再向下平移5個單位，求所得拋物線的解析式。
2已知拋物線的對稱軸為x=1，最高點在直線y=2x+4上，求a和 b的值，並求出拋物線與直線y=2x+4的交點座標。
3已知拋物線的圖象的一部分如圖所示，拋物線的頂點在第一象限，且經過點a(0，-7)和點b.（1）求a的取值範圍；（2）若oa=2ob，求拋物線的解析式．
《二次函式》講義二
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