1. 行列式共有個元素，展開後有項，可分解為行列式；
2. 代數余子式的性質：
①、和的大小無關；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數余子式為0；
③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數余子式為；
3. 代數余子式和余子式的關係：
4. 設行列式：
將上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為，則；
將順時針或逆時針旋轉，所得行列式為，則；
將主對角線翻轉後**置），所得行列式為，則；
將主副角線翻轉後，所得行列式為，則；
5. 行列式的重要公式：
①、主對角行列式：主對角元素的乘積；
②、副對角行列式：副對角元素的乘積；
③、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積；
④、和：副對角元素的乘積；
⑤、拉普拉斯展開式：、
⑥、範德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；
⑦、特徵值；
6. 對於階行列式，恒有：，其中為階主子式；
7. 證明的方法：
①、；②、反證法；
③、構造齊次方程組，證明其有非零解；
④、利用秩，證明；
⑤、證明0是其特徵值；
8. 是階可逆矩陣：
（是非奇異矩陣）；
（是滿秩矩陣）
的行（列）向量組線性無關；
齊次方程組有非零解；
，總有唯一解；
與等價；
可表示成若干個初等矩陣的乘積；
的特徵值全不為0；
是正定矩陣；
的行（列）向量組是的一組基；
是中某兩組基的過渡矩陣；
9. 對於階矩陣： 無條件恆成立；
10.11. 矩陣是**，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和；
12. 關於分塊矩陣的重要結論，其中均、可逆：
若，則：
ⅰ、；ⅱ、；
②、；（主對角分塊）
③、；（副對角分塊）
④、；（拉普拉斯）
⑤、；（拉普拉斯）
13. 乙個矩陣，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：；
等價類：所有與等價的矩陣組成的乙個集合，稱為乙個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；
對於同型矩陣、，若；
14. 行最簡形矩陣：
①、只能通過初等行變換獲得；
②、每行首個非0元素必須為1；
③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；
15. 初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉置後採用初等行變換）
1、 若，則可逆，且；
②、對矩陣做初等行變化，當變為時，就變成，即：；
③、求解線形方程組：對於個未知數個方程，如果，則可逆，且；
16. 初等矩陣和對角矩陣的概念：
①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；
②、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；
③、對調兩行或兩列，符號，且，例如：；
④、倍乘某行或某列，符號，且，例如：；
⑤、倍加某行或某列，符號,且，如：；
17. 矩陣秩的基本性質：
①、；②、；
③、若，則；
④、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）
⑤、；（※）
⑥、；（※）
⑦、；（※）
⑧、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（※）
ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解**置運算後的結論）；
ⅱ、⑨、若、均為階方陣，則；
18. 三種特殊矩陣的方冪：
①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再採用結合律；
②、型如的矩陣：利用二項展開式；
二項展開式：；
注：ⅰ、展開後有項；
ⅱ、ⅲ、組合的性質：；
③、利用特徵值和相似對角化：
19. 伴隨矩陣：
①、伴隨矩陣的秩：；
②、伴隨矩陣的特徵值：；
③、、20. 關於矩陣秩的描述：
①、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話）
②、，中有階子式全部為0；
③、，中有階子式不為0；
21. 線性方程組：，其中為矩陣，則：
①、與方程的個數相同，即方程組有個方程；
②、與方程組得未知數個數相同，方程組為元方程；
22. 線性方程組的求解：
①、對增廣矩陣進行初等行變換（只能使用初等行變換）；
②、齊次解為對應齊次方程組的解；
③、特解：自由變數賦初值後求得；
23. 由個未知數個方程的方程組構成元線性方程：
①、；②、（向量方程，為矩陣，個方程，個未知數）
③、（全部按列分塊，其中）；
④、（線性表出）
⑤、有解的充要條件：（為未知數的個數或維數）
24. 個維列向量所組成的向量組：構成矩陣；
個維行向量所組成的向量組：構成矩陣；
含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；
25. ①、向量組的線性相關、無關有、無非零解；（齊次線性方程組）
②、向量的線性表出是否有解；（線性方程組）
③、向量組的相互線性表示是否有解；（矩陣方程）
26. 矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)
27. ；(例15)
28. 維向量線性相關的幾何意義：
①、線性相關 ；
②、線性相關座標成比例或共線（平行）；
③、線性相關共面；
29. 線性相關與無關的兩套定理：
若線性相關，則必線性相關；
若線性無關，則必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶）
若維向量組的每個向量上添上個分量，構成維向量組：
若線性無關，則也線性無關；反之若線性相關，則也線性相關；（向量組的維數加加減減）
簡言之：無關組延長後仍無關，反之，不確定；
30. 向量組（個數為）能由向量組（個數為）線性表示，且線性無關，則(二版定理7)；
向量組能由向量組線性表示，則；（定理3）
向量組能由向量組線性表示
有解； （定理2）
向量組能由向量組等價（定理2推論）
31. 方陣可逆存在有限個初等矩陣，使；
①、矩陣行等價：（左乘，可逆）與同解
②、矩陣列等價：（右乘，可逆）；
③、矩陣等價：（、可逆）；
32. 對於矩陣與：
①、若與行等價，則與的行秩相等；
②、若與行等價，則與同解，且與的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性；
③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；
④、矩陣的行秩等於列秩；
33. 若，則：
①、的列向量組能由的列向量組線性表示，為係數矩陣；
②、的行向量組能由的行向量組線性表示，為係數矩陣；**置）
34. 齊次方程組的解一定是的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；
①、 只有零解只有零解；
②、 有非零解一定存在非零解；
35. 設向量組可由向量組線性表示為：（題19結論）
（） 其中為，且線性無關，則組線性無關；（與的列向量組具有相同線性相關性）
（必要性：；充分性：反證法）
注：當時，為方陣，可當作定理使用；
36. ①、對矩陣，存在， 、的列向量線性無關；（）
②、對矩陣，存在， 、的行向量線性無關；
37. 線性相關
存在一組不全為0的數，使得成立；（定義）
有非零解，即有非零解；
，係數矩陣的秩小於未知數的個數；
38. 設的矩陣的秩為，則元齊次線性方程組的解集的秩為：；
39. 若為的乙個解，為的乙個基礎解系，則線性無關；（題33結論）
40. 正交矩陣或（定義），性質：
①、的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即；
②、若為正交矩陣，則也為正交陣，且；
③、若、正交陣，則也是正交陣；
注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；
41. 施密特正交化：
；;42. 對於普通方陣，不同特徵值對應的特徵向量線性無關；
對於實對稱陣，不同特徵值對應的特徵向量正交；
43. ①、與等價經過初等變換得到；
，、可逆；
，、同型；
②、與合同 ，其中可逆；
與有相同的正、負慣性指數；
③、與相似 ；
44. 相似一定合同、合同未必相似；
若為正交矩陣，則，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）；
45. 為對稱陣，則為二次型矩陣；
46. 元二次型為正定：
的正慣性指數為；
與合同，即存在可逆矩陣，使；
的所有特徵值均為正數；
的各階順序主子式均大於0；
；(必要條件)
線性代數性質定理公式全總結
概念 性質 定理 公式必須清楚，解法必須熟練，計算必須準確 全體維實向量構成的集合叫做維向量空間.關於 稱為的標準基，中的自然基，單位座標向量 線性無關 任意乙個維向量都可以用線性表示.行列式的計算 行列式按行 列 展開定理 行列式等於它的任一行 列 的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和.推論 行...
線性代數複習
一 填空題 1 設a為三階方陣且，則 108 23 若方程組有非零解，則常數 1 4 設，且與線性相關，則常數 1 5 中第1行第二列元素的代數余子式 12 6 商量組 1,2 3,4 4,6 的秩為 2 7 設矩陣,則的特徵值為 1,1 2 8 若矩陣a可逆，且，則x b 2 9 若向量與正交，則...
線性代數複習
行列式 1.計算行列式的值 1 2 3 矩陣 1.設，求 p47 8題 2.判斷以下矩陣是否可逆，若可逆，求其逆。1 p53 3 p70 2 2 2 p52，例2 4 3.已知三階方陣a的行列式為1 2，求出行列式的值 p54 8題 4.已知n階方陣a的行列式為6，求出行列式的值.p54 7題 5....