初二數學競賽試題
（說明：本卷可使用計算器，考試時間120分鐘，滿分120分）
一、選擇題（每小題5分，共30分）
1、使成立的條件是（ ）
a、ab＞0 b、ab＞1 c、ab≤0 d、ab≤1
2、某商品的標價比成本價高p%，當該商品降價**時，為了不虧損成本，售價的折扣（即降價的百分數）不得超過d%，則d可用p表示為（ ）
a、 b、p c、 d、
3、有一種足球由32塊黑白相間的牛皮縫製而成，
黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長都相等，
則白皮的塊數是（ ）
a、22 b、20 c、18 d、16
4、某個班的全體學生進行短跑、跳高、鉛球三個專案的測試，
有5名學生在這三個專案的測試中都沒有達到優秀，
其餘學生達到優秀的專案、人數如下表：
則這個班的學生總數是（ ）
a、35 b、37 c、40 d、48
5、甲、乙、丙三個學生分別在a、b、c三所大學學習數學、物理、化學中的乙個專業，若：①甲不在a校學習；②乙不在b校學習；③在b校學習的學數學；④在a校學習的不學化學；⑤乙不學物理，則（ ）
a、甲在b校學習，丙在a校學習 b、甲在b校學習，丙在c校學習
c、甲在c校學習，丙在b校學習 d、甲在c校學習，丙在a校學習
6、已知：a、b是正數，且a+b=2，則的最小值是（ ）
a、 b、 c、 d、
二、填空題（每小題5分，共30分）
7、已知2x=a, 3x=t, 則 24x用含a,t的代數式表示)
8、已知△abc中，ab=ac=5，bc=6，點f在bc上，
則點f到另外兩邊的距離和是
9、已知，則代數式的值為
10、如圖，正方形abcd的面積為256，
點f在ad上，點e在ab的延長線上，
直角△cef的面積為200，則be＝ .
11、把7本不同的書分給甲、乙兩人，
甲至少要分到2本，乙至少要分到1本，
兩人的本數不能只相差1，則不同的分法共有種.
12、如果用兩個1，兩個2，兩個3，兩個4，要求排成具有以下特徵的數列：一對1之間正好有乙個數字，一對2之間正好有兩個數字，一對3之間正好有三個數字，一對4之間正好有四個數字，請寫出乙個正確答案 .
三、解答題（每小題15分，共60分）
13、某商店有a種練習本**，每本零售為0.30元，一打（12本）售價為3.00元，買10打以上的，每打還可以按2.70元付款.
（1）初二（1）班共57人，每人需要1本a種練習本，則該班集體去買時，最少需要付多少元？
（2）初三年級共227人，每人需要1本a種練習本，則該年級集體去買時，最少需付多少元？
14、請觀察式子
1×2×3×4＋1=52
2×3×4×5＋1＝112
3×4×5×6＋1＝192
……（1）猜想20000×20001×20002×20003+1＝（ ）2
（2）請寫出乙個具有普遍性的結論，並給出證明.
15、如圖：四邊形abcd中，ad＝dc，∠abc＝30°，
∠adc＝60°.試探索以ab、bc、bd為邊，
能否組成直角三角形，並說明理由.
16、設四位數是乙個完全平方數，且，求這個四位數.
[參答]
1、c 2、c3、b
4、c 5、a6、a
7、a3t 8、4.89、2004
10、12 11、49 12、41312432或23421314
13、（1）可買5打或4打9本，前者需付款3.00×5＝15.00，後者只需付款3.
00×4＋0.3×9＝14.7元.
故該班集體去買時，最少需付14.7元.
（2）227＝12×18＋11，可買19打或18打加11本，前者需付款2.70×19＝51.3；後者需付款2.
70×18＋0.3×11＝51.9元，比前者還要多付0.
6元.故該年級集體去買，最少需付51.3元.
14、（1）400060001
（2）對於一切自然數n，有n（n+1）(n+2)(n+3)+1＝(n2+3n+1)2.證略
故20000×20001×20002×20003＋1＝（200002＋3×20000＋1）2.
＝4000600012
15、證明：以bc為邊作等邊△bce，鏈結ae、ac.
因為∠abc＝30°，∠cbe＝60°，所以∠abe＝90°，
所以ab2＋be2＝ae2 ①，ad＝dc，∠adc＝60°，
所以△adc是等邊三角形.
因為在△dcb和△ace中，dc＝ac，
∠dcb＝∠dca＋∠acb＝∠ecb＋∠acb＝∠ace，
而bc＝ce，所以△dcb≌△ace，所以bd＝ae，
而bc＝be，由①式，得bd2＝ab2＋bc2
16、設，則32≤m≤99.
又設，則. 於是100（2x＋1）＋x＝m2，201x= m2－100
即67×3x＝（m+10）(m－10).
由於67是質數，故m＋10與m－10中至少有乙個是67的倍數.
（1）若m＋10＝67k（k是正整數），因為32≤m≤99，
則m+10=67,即m＝57.
檢驗知572＝3249，不合題意，捨去.
（2）若m－10＝67k（k是正整數），則m－10＝67，m＝77.
所以， 929.
八年級數學競賽試題 八
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