2023年新課標省市高三數學模擬題分類
第三節數列
1.（2010廣東惠州一模）
已知數列中，，對於任意的，有
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足：……，求數列的通項公式；
（3）設，是否存在實數，當時，恆成立，若存在，求實數的取值範圍，若不存在，請說明理由。
2.（2010北京西城區模擬）
設數列為等比數列，數列滿足，，已知，，其中．⑴求數列的首項和公比；
⑵當時，求；
⑶設為數列的前項和，若對於任意的正整數，都有，求實數的取值範圍．3.（2010四川省模擬題）
已知數列滿足：，，．
⑴求的值；
⑵設，試求數列的通項公式；
⑶對於任意的正整數，試討論與的大小關係．
4.（2010遼寧丹東二模）
數列中，，．
（i）若，設，求證數列是等比數列，並求出數列的通項公式；
（ii）若，，，用數學歸納法證明：．
5.（2010遼寧丹東高三階段測試）
已知定義在上的函式和數列滿足下列條件：
，，，…，
，，，…，
若，，令．
（i）證明數列是等比數列，並求數列的通項公式；
（ii）設，，求使取最大值時的值．
6.（2010福建省調研測試）
已知數列，其中，數列的前項和，數列滿足．
⑴求數列的通項公式；
⑵是否存在自然數，使得對於任意，，有恆成立？若存在，求出的最小值；
⑶若數列滿足，求數列的前項和．
7.（2010北京宣武區一模）
已知數列滿足，點在直線上．
⑴求數列的通項公式；
⑵若數列滿足，求的值；
⑶對於⑵中的數列，求證：．
8.（2010英才苑模擬試卷）
設數列滿足：．
（i）證明：對恆成立；
（ii）令，判斷與的大小，並說明理由．
9.（2010海南海口調研測試）
設數列的前項和為，為等比數列，且，．
（i）求數列和的通項公式；
（ii）設，求數列的前項和．
10.（2010山東聊城三中二模）
等差數列中，，前項和為，等比數列各項均為正數，，且，的公比（1）求與；
（2）求
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第三節數列詳解答案
1. 解：（1）取，則 ∴（）
∴是公差為，首項為的等差數列4分
（2）∵ ①
①-②得6分
當時， ∴，滿足上式 ∴ …………8分（3） 假設存在，使
．． ．
當為正偶函式時，恆成立11分
當為正奇數時，恆成立．∴
∴．∴．
綜上可知，存在實數．使時，恆成立14分
2. ⑴由已知，所以；
，所以，解得；
所以數列的公比；
⑵當時，，
②－①得，
所以，．
⑶，因為，所以由得，
注意到，當n為奇數時，；當為偶數時，，
所以最大值為，最小值為．
對於任意的正整數n都有，
所以，解得，
即所求實數m的取值範圍是．
3. ⑴∵，，，，
∴；；．
⑵由題設，對於任意的正整數，都有：，∴．
∴數列是以為首項，為公差的等差數列．
∴．⑶對於任意的正整數，
當或時，；
當時，；
當時，．
證明如下：
首先，由，，，可知時，；
其次，對於任意的正整數，
時，；時，
所以．時，
事實上，我們可以證明：對於任意正整數，…（*）（證明見後），所以此時．
綜上可知：結論得證．
對於任意正整數，（*）的證明如下：
ⅰ）當（）時，
，滿足（*）式．
ⅱ）當時，，滿足（*）式．
ⅲ）當時，
於是只須證明，如此遞推，可歸結為ⅰ）或ⅱ）的情形，於是（*）得證．
4. （i）
證明：∵，
2分）∵，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列，4分）∴，即，得，所以．
6分）（ii）證明：（i）當時，∵，∴，
∴，∴，不等式成立8分）
（ii）假設當時，成立，
那麼，當時，去證明
∵，∴；
∵，∴；∴，
所以不等式也成立，
由（i）（ii）可知，不等式成立12分）
5. 解：（i）∵，∴，
∴∴數列是等比數列4分）
6分）（ii）方法1： ，∵，∴數列是遞減的等差數列，8分）令得，∵，∴ ………（10分）
∴數列的前5項都是正的，第6項開始全部是負的，∴時，取最大值．12分）
方法2： ，∵，∴數列是等差數列，
8分），對稱軸直線，
10分）
∵，∴時，取最大值． …………（12分）6. ⑴因為．
當時，；
所以．所以．即．
又，所以．
當時，上式成立．
因為，所以是首項為，公比為的等比數列，故；
⑵由⑴知，．
則，假設存在自然數，使得對於任意，有恆成立，即恆成立，由，解得，
所以存在自然數，使得對於任意，
有恆成立，此時，的最小值為16．
⑶當為奇數時，
；當為偶數時，
；因此．
7. ⑴∵點在直線上，∴
∴，是以為首項，為公比的等比數列，
∴⑵∵且，
∴，∴且；
當時，．
⑶由⑵知
∴∵時，∴，
∴，即．
8. 解：（1）證法一：當時，，不等式成立，假設時，成立 （2分），
當時，．（5分）
時，時成立
綜上由數學歸納法可知， 對一切正整數成立 （6分）證法二：當時，，結論成立；
假設時結論成立，即（2分） 當時，
由函式的單增性和歸納假設有
（4分）,
因此只需證：，
而這等價於，
顯然成立，所以當是，結論成立；
綜上由數學歸納法可知， 對一切正整數成立 （6分）證法三：由遞推公式得，
（2分）
上述各式相加並化簡得
4分）又時，顯然成立， 故（6分）
9. 解：（i）當2分）
故的通項公式為4分）
設的通項公式為
故6分）
（ii8分）
兩式相減得10分）
12分）10.
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