在這個檔案裡，我們來討論函式的有界性和單調性。從函式的變化趨勢看，有界性和單調性屬於函式的分析性質。這兩個性質在微積分裡有重要的應用。它們常常放在一起使用。
三．單調性
直觀地看，函式的單調性是指函式隨著自變數的增加而增加（或減少）的性質，直觀地理解是，函式的變化趨勢是單方向的，不是起起伏伏，成「波浪形」的。數學上當然要做精確的定義：對於定義域為的函式，。
，都有，則稱函式是集合上的單調不減（遞增）函式。若不等號「」改為「」，則為單調不增(遞減)函式。
若不等號「」和「」，分別改為嚴格不等號「」和「」，則分別加上「嚴格」兩字。
在幾何圖形上，函式值隨自變數的增加而上公升或下降。請同學們自己畫出其影象趨勢來。
因為數列可視為函式自變數取整數值時的特殊情況，所以，數列也同樣存在單調性的概念。這時，我們用任意的相鄰兩項的大小，來描述數列的單調性：若對任意的項數序號，都有，則稱數列單調不減（或遞增）或單調不增（遞增）。
例3.1 證明函式單調遞增的充要條件是。
證：設單調遞增。則對於任意，有。所以，的分子，分母都是非正的值，故。
反之，若，不妨設。那麼，從而有，即函式單調遞增。
注：實際上是函式曲線上兩點形成的割線的斜率。顯然，其斜率非負，則曲線呈上公升的趨勢，反之亦然。
我們要善於把乙個數學式用直觀的幾何形象聯絡起來，這樣就可把抽象的數學變得生動起來，學數學就不枯燥了，可不必死記硬背了。
例3.2 設，其中均為不等於1的、且不相等的正整數，證明是單調遞增函式。
解：證明乙個函式為單調遞增，可以用定義判定，也可以用例3.1中變形判據，它其實是曲線的割線的斜率。本題用此判據。
當時， ，與同號，因此，從而是單調遞增函式。
注：若直接用定義，你認為如何？不妨試試，做個比較。
例3.3 設，證明：對於，是嚴格單調遞增函式。
證：設，
，注意到，故，（這一步是本題的關鍵，如果你自己做，能想到嗎？）所以
故為嚴格單調遞增。
下一題在微積分中有重要意義。
例3.4 設整序函式為，證明：數列是單調遞增的。
證：我們先感覺一下這個數列的變化情況：
，，確實是遞增的。如何來證明呢？我們來比較和。
對於固定的，由二項式定理：
。同理可算出
比較和：後者的前項等於或大於前者的所有對應項，而且這還多了一項數值為正的最後一項。因此
這表明數列是單調遞增的。
由於例3.4的重要性，我們換一種思路來證明。先證明乙個引理（以例子形式出現）。
例3.5 設是兩個任意不相等的正數，則。
這個引理可直接用著名的平均不等式來證：個正數的幾何平均值不大於其算術平均值，即若個正數為，則有
本例的證明是直接的，留給大家做吧。有了此引理，例3.4的證明就很容易。
例3.6 證明例3.4.
證：這就完成了證明。顯然，這樣的證明非常簡潔。我們需要學習這樣的證明方式。
例3.6 證明數列是單調遞增的。
證：仍然使用例3.5中給出的引理（當然你還可以用例3.3中的二項式展開的方法！）
好了，一下子完成了證明！多麼簡潔優美！（你能體會到其中的「數學美」嗎？這是一種思維的優雅和流暢！）
例3.7證明數列是單調遞減的。
證：我們的第一反應是：題目是否錯了？與相比，還多了一項呢？但人的直覺有時並不可靠，雖然數學上的直覺是很可貴的，要珍惜。還是依靠數學的推理來解決問題。因為 ，
同理有 。
但是，數列是單調遞增的，亦即有 ，因而
這樣就有
這樣就證明了數列的單調遞減性。
大家讓腦子從上述優美的數學海洋裡出來一會，再做些題目，來體會單調性。
題3.1 討論下列函式的單調性：
1）； 2）。
題3.2 研究下列函式的單調性：
1)； 2）； 3）
題3.3 設均為單調遞增函式，且，則復合函式必有
四．有界性
函式的有界性表示函式的值域有乙個固定的範圍，即其值始終不能某個界限。這是直觀的認識。數學上需要給出明確的定義。
對於函式，若存在乙個正數，對於任意的，都有，則稱在定義域上有界，或稱是定義域上的有界函式。
幾何上有界的含義指的影象被夾在兩條平行線之間，不能超越之。
反之，若對任給的正數，存在，使，則稱在上無界。
這就是說，有界者必須始終不越界，而無界者只須一處越界便成立。
有界性可分為上有界和下有界，即單方向的。
對於函式，若存在乙個實數，對於任意的，都有，則稱在定義域上為上有界，稱為的乙個上界。類似地，若存在乙個實數，對於任意的，都有，則稱在定義域上為下有界，稱為的乙個下界。
顯然若上有界或下界，那麼它的上、下界都不是唯一的。由此，有界函式也可以定義為滿足下列條件： ， 。
要注意的是，這裡的數和，必須是有限值，否則屬於無界。
作為函式的特例，數列也有類似的有界性的定義。同學們可參考教科書，我們不再重複。
例4.1 討論函式的有界性。
解：本題的定義域顯然為。對於簡單函式，先畫個大致的影象，常能幫助思考。
從畫出的影象看，顯然是有下界而無上界。其下解為0。所以這個函式無界。我們沿著證明無界的思路來做題。（方向很重要！可以避免瞎忙乎！）
為了證明無界，對於任給的，要找到一點，使。
因為 ，所以對於任給的，取點，這是
這表明在定義域上無界。
例4.2 討論的有界性。
解：本題的定義域顯然為。在定義域上，注意到正弦函式是有界的，但線性函式是無界的。
所以，有界函式與無界函式的乘積，是無界函式。（這乙個結論也是需要證明的，但在這個題裡不證）。
對任給的正數，取，（這樣， =1，可以簡化證明）那麼
這表明在定義域上無界。
例4.3 證明：鋸齒形函式在定義域上是有界週期函式。
分析：首先你的清楚為什麼稱為鋸齒形函式。當然是它的形狀是像木工鋸木板用的鋸條上的鋸齒。教科書上有的影象。由此，先請你畫出的影象。
為了證明簡潔，我們先證乙個引理。
引理為整數。
證：設，其中為整數。則根據取整函式的性質。
又因為 ， 其中為整數。在這個式兩邊取整，有
這就是引理要證明的結論。特別地，取，則有 。這個結論在例4.3中要用。
例4．3的證明：要證明鋸齒函式為有界週期函式，先證有界性，即找到兩個常數，在定義域上使介於這兩個數之間。如果你畫出了函式的影象，那麼這2個數不難找到。
因為是以整數點分段的，所以設，則根據取整函式的性質知 。
這樣就有； 另一方面，。
所以對一切。
這正是的有界性的證明。（這裡我們用了有界性的第2個定義——不對稱界的定義）。
再證週期性。其實從影象上看，鋸齒形影象的週期性很明顯，週期是1，問題要用數學推理來證明。（直觀不能代替推理，但觀察到的週期值對證明有幫助）
對任意的，有
好！這就證明了是週期為1的週期函式。
不知，大家從這些題的化解中，體會到什麼？再做乙個考研題（即歷屆研究生入學試題）。
例4.4 設，問此函式是
（a）有界函式； （b）單調函式； （c）奇函式； （d）偶函式。
解：真的在考試時，選擇題的做法主要是排除法，考基本概念進行判斷，不必在試卷上寫什麼（當然在草稿紙上需要運算）。這裡為了分析清楚，寫得詳細些。
注意題**現的指數復合函式的底數我們還沒有引入，這是乙個特殊的數，現在你理解為乙個大於1的正數即可，不會影響做題目。
（a）顯然不對。這是因為雖然和都有界，但中的因子，它在是無界的。所以整個函式是無界的。當然作為練習，你可以嚴格證明其無界性。請你一試，找出一點，使。好嗎？
（b）也不對頭，由於有因子的存在，不可能在單調。（但在某一段上單調是可能的。但題目要求的是在整個定義域上！）
（c）不對，因為它不是奇函式，這只需證明它不滿足。事實上，
在上面的演算過程中，恰恰證明了是偶函式。所以，你毫不猶豫地選（d）。
例4.5 請你討論例3.4中的數列的有界性。
解：可以有好幾種方法討論本題。先用最「保守」的方法。我們已經求出了
，注意到，，所以有
上式的右邊的計算還是比較困難，所以前面再來「放大」，使其計算容易。
由於總是正的，故不必用絕對值。由此得出數列的有界性。
也就是說，這個數列是單調遞增，且有上界。這樣的數列的極限存在嗎？若存在，其極限值是什麼？這將是我們在數列極限中的乙個中心問題！
例4.6 用其他方法研究的有界性。
解：我們回到例3.6和例3.7，那裡我們研究了數列的單調性，證明了它是乙個單調遞減的。我們可以直接使用這個結論。
因為 ，。
但是是單調遞減的，所以這個數列的第一項必定最大。於是對任意正整數，都有
這也證明了的有界性。
到了這一步，可能有同學會問，你一會搞出乙個上界為3，一會又弄出乙個4的上界。你搞什麼搞？其實，上界並不唯一，我們證明的只是存在性，理論上指出了這個界是存在的，並沒有一定要指出上界的最小值。
限於本課程的要求和時間限制，我們不涉及太多的數學分析的內容。不過，從大學之道而言，學習根本不存在什麼人為的界限，在科學的海洋裡，任何人都有資格去敖遊，只要你有興趣和時間——取決於你的人生價值觀。
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