精品題庫試題 理數
1.（2013福建廈門高三一月質量檢查，15,5分）（1）（矩陣與變換選做題）已知矩陣，，曲線y=sinx在矩陣mn對應的變換作用下得到曲線c，則c的方程是 .
[答案] 1.（或）
[解析] 所以在矩陣mn變換下，則，即，所以曲線在矩陣mn變換下得到曲線c的方程是．
2.(2014福建,21(1),7分)選修4—2:矩陣與變換
已知矩陣a的逆矩陣a-1=.
(ⅰ)求矩陣a;
(ⅱ)求矩陣a-1的特徵值以及屬於每個特徵值的乙個特徵向量.
[答案] 2.檢視解析
[解析] 2.(ⅰ)因為矩陣a是矩陣a-1的逆矩陣,且|a-1|=2×2-1×1=3≠0,
所以a==.
(ⅱ)矩陣a-1的特徵多項式為f(λ)==λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),
令f(λ)=0,得矩陣a-1的特徵值為λ1=1或λ2=3,
所以ξ1=是矩陣a-1的屬於特徵值λ1=1的乙個特徵向量,
ξ2=是矩陣a-1的屬於特徵值λ2=3的乙個特徵向量.
3.(2014江蘇,21(b),10分)[選修4—2:矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知矩陣a=,b=,向量α=,x,y為實數,若aα=bα,求x+y的值.
[答案] 3.檢視解析
[解析] 3.由已知,得aα==,bα==.
因為aα=bα,所以=.故
解得所以x+y=.
4.(2014福州高中畢業班質量檢測, 21(1)) 選修4-2：矩陣與變換.
已知矩陣, 若矩陣a屬於特徵值6的乙個特徵向量為，屬於特徵值1的乙個特徵向量.
（ⅰ）求矩陣a的逆矩陣；
（ⅱ）計算的值.
[答案] 4.檢視解析
[解析] 4.(ⅰ) 法一: 依題意, . .
所以. （4分）
法二: ，即的兩個根為6和1，
故, . ，所以，
(ⅱ) 法一: =2－，a3=2×63－13=. （7分）
法二:=. （7分）
5.(2014周寧、政和一中第四次聯考，21（1）) 選修4—2：矩陣與變換
已知二階矩陣有特徵值及對應的乙個特徵向量，並且矩陣對應的變換將點變換成，求矩陣.
[答案] 5.檢視解析
[解析] 5. 設，有已知得，，
又，，，. （7分）
6. (2014江蘇蘇北四市高三期末統考, 21b) 設矩陣（其中），若曲線在矩陣所對應的變
換作用下得到曲線，求的值.
[答案] 6.檢視解析
[解析] 6. 設曲線上任意一點，在矩陣所對應的變換作用下得到點，則，即. （5分）
又點在曲線上，所以，則為曲線的方程.
又曲線的方程為，故，，
因為，所以. （10分）
7.（2013福建，21（1）, 7分）已知直線l: ax+y=1在矩陣a=對應的變換作用下變為直線l': x+by=1.
(ⅰ) 求實數a, b的值;
(ⅱ) 若點p(x0, y0) 在直線l上, 且a=, 求點p的座標.
[答案] 7.(ⅰ)設直線l: ax+y=1上任意點m(x, y) 在矩陣a對應的變換作用下的像是m' (x', y').
由==, 得
又點m' (x', y') 在l' 上, 所以x' +by' =1, 即x+(b+2) y=1,
依題意得解得
(ⅱ) 由a=, 得解得y0=0.
又點p(x0, y0) 在直線l上, 所以x0=1.
故點p的座標為(1,0).
7.8.（2013江蘇，21b, 10分）已知矩陣a=, b=, 求矩陣a-1b.
[答案] 8.設矩陣a的逆矩陣為, 則=, 即=,
故a=-1, b=0, c=0, d=, 從而a的逆矩陣為a-1=,
所以a-1b==.8.
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