1．如圖，直線y=﹣x+2與x軸交於點b，與y軸交於點c，已知二次函式的圖象經過點b，c和點a（﹣1，0）．
（1）求b，c兩點座標；
（2）求該二次函式的關係式；
（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點d，點e是線段bc上的乙個動點，過點e作x軸的垂線與拋物線相交於點f，當點e運動到什麼位置時，四邊形cdbf的面積最大？求出四邊形cdbf的最大面積及此時e點的座標；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點p，使△pcd是以cd為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出p點的座標；如果不存在，請說明問題．
2．如圖，直線y=﹣x+2與x軸交於點b，與y軸交於點c，已知二次函式的圖象經過點b、c和點a（﹣1，0）．
（1）求b、c兩點座標；
（2）求該二次函式的關係式；
（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點d，則在拋物線的對稱軸上是否存在點p，使△pcd是以cd為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出p點的座標；如果不存在，請說明理由；
（4）點e是線段bc上的乙個動點，過點e作x軸的垂線與拋物線相交於點f，當點e運動到什麼位置時，四邊形cdbf的面積最大？求出四邊形cdbf的最大面積及此時e點的座標．
3．如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交於點a（1，0）和點b（﹣3，0），與y軸交於點c．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交於點m，問在對稱軸上是否存在點p，使△cmp為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點p的座標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若點e為第二象限拋物線上一動點，連線be、ce，求四邊形boce面積的最大值，並求此時e點的座標．
4．如圖1，拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸交於點a（2，0）和點b（﹣6，0），與y軸交於點c．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交於點m，在對稱軸上存在點p，使△cmp為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點p的座標；
（3）設點q是拋物線對稱軸上的乙個動點，當點q滿足ac+qc最小時，求出q點的座標；
（4）如圖2，若點e為第二象限拋物線上一動點，連線be、ce，求四邊形boce的面積的最大值，並求此時e點的座標．
5．如圖1，拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸交於點a（2，0）和點b（﹣6，0），與y軸交於點c．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交於點m，在對稱軸上存在點p，使△cmp為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點p的座標；
（3）設點q是拋物線對稱軸上的乙個動點，當點q滿足|qb﹣qc|最大時，求出q點的座標；
（4）如圖2，若點e為第二象限拋物線上一動點，連線be、ce，求四邊形boce的面積的最大值，並求此時e點的座標．
參***與試題解析
1．（2015乳山市一模）如圖，直線y=﹣x+2與x軸交於點b，與y軸交於點c，已知二次函式的圖象經過點b，c和點a（﹣1，0）．
（1）求b，c兩點座標；
（2）求該二次函式的關係式；
（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點d，點e是線段bc上的乙個動點，過點e作x軸的垂線與拋物線相交於點f，當點e運動到什麼位置時，四邊形cdbf的面積最大？求出四邊形cdbf的最大面積及此時e點的座標；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點p，使△pcd是以cd為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出p點的座標；如果不存在，請說明問題．
【解答】解：（1）令x=0，則y=﹣x+2=2；令y=0，則0=﹣x+2，解得x=4，
所以b（4，0），c（0，2）；
（2）設二次函式的解析式為y=ax2+bx+c，
把a、b的座標代入得，
，解得．
∴該二次函式的關係式為y=﹣x2+x+2；
（3）如圖2，過c點作cm⊥ef於m，
設e（a，﹣a+2），f（a，﹣a2+a+2）
∴ef=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a，（0≤a≤4），
∵s四邊形cdbf=s△bcd+s△cef+s△bef=bdoc+efcm+efbn
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）
=﹣a2+4a+
=﹣（a﹣2）2+，（0≤a≤4），
∴a=2時，s四邊形cdbf的最大值為；
∴e（2，1）；
（4）存在，
如圖3，∵拋物線y=﹣x2+x+2的對稱軸x=﹣==，
∴od=，
∵c（0，2），
∴oc=2，
在rt△ocd中，由勾股定理得cd=，
∵△cdp是以cd為腰的等腰三角形，
∴cp1=dp2=dp3=cd，
如圖所示，作ce⊥對稱軸於e，
∴ep1=ed=2，
∴dp1=4，
∴p1（，4），p2（，），p3（，﹣）．
2．（2015曲靖一模）如圖，直線y=﹣x+2與x軸交於點b，與y軸交於點c，已知二次函式的圖象經過點b、c和點a（﹣1，0）．
（1）求b、c兩點座標；
（2）求該二次函式的關係式；
（3）若拋物線的對稱軸與x軸的交點為點d，則在拋物線的對稱軸上是否存在點p，使△pcd是以cd為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出p點的座標；如果不存在，請說明理由；
（4）點e是線段bc上的乙個動點，過點e作x軸的垂線與拋物線相交於點f，當點e運動到什麼位置時，四邊形cdbf的面積最大？求出四邊形cdbf的最大面積及此時e點的座標．
【解答】解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=4，
即點b（4，0），c（0，2）；
（2）設二次函式的解析式為y=ax2+bx+c，
將點a、b、c的座標代入解析式得，
，解得：，
即該二次函式的關係式為y=﹣x2+x+2；
（3）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴拋物線的對稱軸是x=．
∴od=．
∵c（0，2），
∴oc=2．
在rt△ocd中，由勾股定理，得
cd=．
∵△cdp是以cd為腰的等腰三角形，
∴cp1=dp2=dp3=cd．
如圖1所示，作ce⊥對稱軸於e，
∴ep1=ed=2，
∴dp1=4．
∴p1（，4），p2（，），p3（，﹣）；
（4）當y=0時，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴b（4，0）．
∵直線bc的解析式為：y=﹣x+2．
如圖2，過點c作cm⊥ef於m，設e（a，﹣a+2），f（a，﹣a2+a+2），
∴ef=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤a≤4）．
∵s四邊形cdbf=s△bcd+s△cef+s△bef=bdoc+efcm+efbn，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤a≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2時，s四邊形cdbf的面積最大=，
∴e（2，1）．
3．（2009**）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交於點a（1，0）和點b（﹣3，0），與y軸交於點c．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交於點m，問在對稱軸上是否存在點p，使△cmp為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點p的座標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若點e為第二象限拋物線上一動點，連線be、ce，求四邊形boce面積的最大值，並求此時e點的座標．
【解答】解：
（1）∵拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交於點a（1，0）和點b（﹣3，0），
∴解得：
∴所求拋物線解析式為：
y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵拋物線解析式為：
y=﹣x2﹣2x+3，
∴其對稱軸為x==﹣1，
∴設p點座標為（﹣1，a），當x=0時，y=3，
∴c（0，3），m（﹣1，0）
∴當cp=pm時，（﹣1）2+（3﹣a）2=a2，解得a=，
∴p點座標為：p1（﹣1，）；
∴當cm=pm時，（﹣1）2+32=a2，解得a=±，
∴p點座標為：p2（﹣1，）或p3（﹣1，﹣）；
∴當cm=cp時，由勾股定理得：（﹣1）2+32=（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a=6，
∴p點座標為：p4（﹣1，6）
綜上所述存在符合條件的點p，其座標為p（﹣1，）或p（﹣1，﹣）
或p（﹣1，6）或p（﹣1，）；
（3）過點e作ef⊥x軸於點f，設e（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）
∴ef=﹣a2﹣2a+3，bf=a+3，of=﹣a
∴s四邊形boce=bfef+（oc+ef）of
=（a+3）（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）（﹣a）
==﹣+
∴當a=﹣時，s四邊形boce最大，且最大值為．
此時，點e座標為（﹣，）．
4．（2016秋富順縣月考）如圖1，拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸交於點a（2，0）和點b（﹣6，0），與y軸交於點c．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交於點m，在對稱軸上存在點p，使△cmp為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點p的座標；
（3）設點q是拋物線對稱軸上的乙個動點，當點q滿足ac+qc最小時，求出q點的座標；
（4）如圖2，若點e為第二象限拋物線上一動點，連線be、ce，求四邊形boce的面積的最大值，並求此時e點的座標．
【解答】解：（1）把a（2，0）和b（﹣6，0）代入y=ax2+bx+6得，
解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+6．
（2）如圖1中，
由題意c（0，6），m（﹣2，0），
∴cm==2，
①當p1c=cm時，可得p1（﹣2，12），
②當mp2=mc時，p2（﹣2，2），
③當***=mc時，p3（﹣2．﹣2）．
綜上所述滿足條件的點p座標（﹣2，12）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）．
（3）如圖2中，連線bc交對稱軸於q，此時qa+qc最小．
∵b（﹣6，0），c（0，6），
∴直線bc的解析式為y=x+6，
∴點q（﹣2，4）．
（4）如圖3中，設e（m，﹣m2﹣2m+6）．連線eo．
∵s四邊形boce=s△boe+s△coe=×6×（﹣m2﹣2m+6）+×6×（﹣m）=﹣（m+3）2+，
∵a=﹣＜0，
∴m=﹣3時，四邊形boce的面積最大，最大值為，此時點e（﹣3，）．
2019九年級數學期末複習
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