時間：90分鐘分值：100分
一、選擇題(每小題4分，共40分)
1．cos－sin的值為( )
a. b．－
c．0 d.
解析：原式＝cos＋sin
＝cos＋sin＝＋＝.
答案：a
2．已知點p落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為( )
a. b.
c. d.
解析：由sin>0，cos<0知角θ在第四象限，因為tanθ
＝＝－1，θ∈[0,2π)，所以θ＝.
答案：d
3．化簡＝( )
a．－2 b．－
c．－1 d．1
解析：＝＝＝－1.
答案：c
4．已知角a為△abc的內角，且sin2a＝－，則sina－cosa＝( )
a. b．－
c．－ d.
解析：∵a為△abc的內角，且sin2a＝2sinacosa＝－<0，∴sina>0，cosa<0，∴sina－cosa>0.又(sina－cosa)2＝1－2sinacosa＝.
∴sina－cosa＝.
答案：a
5．如圖所示為函式f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象，其中a，b兩點之間的距離為5，那麼f(－1)＝( )
a．－1 b．－
c. d．1
解析：由a，b兩點之間的距離為5知函式的半週期為3，因此t＝6，ω＝＝，又函式過點(0,1)，所以sinφ＝，因為0≤φ≤，所以φ＝，所以函式解析式為f(x)＝2sin，故f(－1)＝2sin＝2sin
＝－1.
答案：a
6．△abc的三個內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，asinbcosc＋csinbcosa＝b，且a>b，則∠b＝( )
a. b.
c. d.
解析：由正弦定理知＝＝＝2r，
所以2rsinasinbcosc＋2rsincsinbcosa＝2rsinb.
因為a>b，所以∠b<∠a，
所以0<∠b<，sinb≠0.
所以sinacosc＋sinccosa＝，即sin(a＋c)＝.
又∠a＋∠b＋∠c＝π，所以sinb＝.
又0<∠b<，所以∠b＝.
答案：a
7．為了得到函式y＝3sin的圖象，只要把函式y＝3sin的圖象上所有的點( )
a．向右平行移動個單位長度
b．向左平行移動個單位長度
c．向右平行移動個單位長度
d．向左平行移動個單位長度
解析：因為y＝3sin＝3sin，
所以要得到函式y＝3sin的圖象，應把函式y＝3sin的圖象上所有點向右平行移動π個單位長度．
答案：c
8．如果若干個函式的圖象經過平移後能夠重合，則稱這些函式為「同簇函式」．給出下列函式：
①f(x)＝sinxcosx；②f(x)＝sin2x＋1；
③f(x)＝2sin；④f(x)＝sinx＋cosx.
其中是「同簇函式」的為( )
ab．①④
cd．③④
解析：三角函式y＝asin(ωx＋φ)＋b的圖象在平移的過程中，振幅不變，①中函式的解析式化簡為y＝sin2x，④中函式的解析式化簡為f(x)＝2sin，將③中的函式的圖象向左平移個單位長度便可得到④中的函式圖象，故選d.
答案：d
9．已知銳角△abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c,23cos2a＋cos2a＝0，a＝7，c＝6，則b＝( )
a．10 b．9
c．8 d．5
解析：化簡23cos2a＋cos2a＝0，得23cos2a＋2cos2a－1＝0，解得cosa＝.由餘弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosa，代入資料，得b＝5.
答案：d
10．設函式f(x)＝cos(ωx＋φ)－sin(ωx＋φ)
，且其圖象相鄰的兩條對稱軸為x1＝0，x2＝，則( )
a．y＝f(x)的最小正週期為π，且在上為增函式
b．y＝f(x)的最小正週期為π，且在上為減函式
c．y＝f(x)的最小正週期為2π，且在(0，π)上為增函式
d．y＝f(x)的最小正週期為2π，且在(0，π)上為減函式
解析：由已知條件得f(x)＝2cos，
由題意得＝，∴t＝π.∴t＝，∴ω＝2.
又∵f(0)＝2cos，x＝0為f(x)的對稱軸，
∴f(0)＝2或－2，又∵|φ|<，∴φ＝－，
此時f(x)＝2cos2x，在上為減函式，故選b.
答案：b
二、填空題(每小題4分，共16分)
11．函式y＝tan的對稱中心為________．
解析：∵y＝tanx(x≠＋kπ，k∈z)的對稱中心為(k∈z)，
∴可令2x＋＝(k∈z)，解得x＝－＋(k∈z)．
因此，函式y＝tan的對稱中心為
(k∈z)．
答案： (k∈z)
12．在△abc中，sina＋cosa＝，ac＝4，ab＝5，則△abc的面積是________．
解析：根據題意，由於△abc中，
sina＋cosa＝sin＝sin＝a＋＝，所以a＝.
△abc的面積為s＝×4×5×sin＝.
答案：13．f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈，則f(x)的最小值為________．
解析：f(x)＝2sin2－cos2x－1
＝1－cos2－cos2x－1＝－cos－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin，因為≤x≤，所以≤2x－≤，所以≤sin≤1，所以1≤2sin≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值為1.
答案：1
14．在△abc中，已知tan＝sinc，給出以下四個結論：
①＝1；②1其中正確的是________．
解析：tan＝＝＝2sincos，∴sin2＝，sin＝.∵∈，∴＝，∴c＝，即△abc是以角c為直角的直角三角形．對於①，由＝1，得tana＝tanb，即a＝b，不一定成立，故①不正確；對於②，∵a＋b＝，∴sina＋sinb＝sina＋cosa＝sin，∴1答案：
②④三、解答題(共4小題，共44分，解答應寫出必要的文字說明、計算過程或證明步驟．)
15．(10分)(2014·大綱全國卷)△abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知3acosc＝2ccosa，tana＝，求b.
解：由題設和正弦定理得3sinacosc＝2sinccosa.
由3tanacosc＝2sinc，
因為tana＝，所以cosc＝2sinc，tanc＝.
所以tanb＝tan[180°－(a＋c)]＝－tan(a＋c)
＝＝－1，即b＝135°.
16．(10分)已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.
(1)求sinα的值；
(2)求β的值．
解：(1)∵tan＝，
∴tanα＝＝＝，
由解得sinα＝.
(2)由(1)知cosα＝＝＝，
又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝，
∴sin(β－α)＝＝＝，
於是sinβ＝sin[α＋(β－α)]
＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)
＝×＋×＝.
又β∈，∴β＝.
17．(12分)在△abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且滿足(2b－c)cosa－acosc＝0.
(1)求角a的大小；
(2)若a＝，s△abc＝，試判斷△abc的形狀，並說明理由．
解：(1)法1：由(2b－c)cosa－acosc＝0及正弦定理，得(2sinb－sinc)cosa－sinacosc＝0，
∴2sinbcosa－sin(a＋c)＝0，sinb(2cosa－1)＝0.
∵0∵0法2：由(2b－c)cosa－acosc＝0，
及餘弦定理，
得(2b－c)·－a·＝0，
整理，得b2＋c2－a2＝bc，
∴cosa＝＝，
∵0(2)△abc為等邊三角形．
∵s△abc＝bcsina＝，
即bcsin＝，∴bc＝3，①
∵a2＝b2＋c2－2bccosa，a＝，a＝，
∴b2＋c2＝6，②
由①②得b＝c＝，∴△abc為等邊三角形．
18．(12分)(2014·重慶卷)已知函式f(x)＝sin(ωx＋φ)
的圖象關於直線x＝對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
解：(1)因f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π，
所以f(x)的最小正週期t＝π，從而ω＝＝2.
又因f(x)的圖象關於直線x＝對稱，
所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因－≤φ《得k＝0，所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f＝sin＝，
所以sin＝.
由<α《得0<α－<，
所以cos＝
＝＝.因此cos＝sinα＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
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