一、計算（20分）
1）2）二、證明：（20分）
1）若向量組線性無關，則它們的部分向量組也線性無關。
2）若向量組中部分向量線性相關，則向量組必線性相關
三、（15分）已知a為n階方陣為a的伴隨陣，則|a|=0，的秩為1或0。
四、（10分）設a為n階陣，求證，rank（a+i）+rank（a-i）≥n
五、（15分）求基礎解系
一、1）-126 2）
二、證明：
1）線性無關，是其部分向量組，若存在不全為0的數使則取，則，則可知線性相關矛盾，所以必線性無關。
2）已知是向量組中中的部分向量，且線性相關即不全為0，使，取，於是有不全為0的，使即線性相關。
三、證明：
由於|a|=0 ，a的秩≤n-1
1）若a的秩為n-1，則中的各元素為a的所有n-1階子式，必有乙個子式不為0，又由於的各列都是ax=0齊次線性方程組的解，其基礎解系為n-（n-1）=1，由此的秩為1。
2）若a的秩＜n-1，則中的所有a的n-1階子式全為0，即=0，的秩為0。
四、證明：∵對任意n級方陣a與b，有
rank（a+b）≤rank（a）+ rank （b）
又∵rank（a－i）=rank[－（a－i）]=rank（i－a）
∴rank[（a+i）+（i－a）]=rank（2i）= rank（i）=n
≤rank（a+i）+rank（i－a）=rank（a+i）+rank（a－i）
五、取基礎解系
六、證明：設是正交向量組，且不含空向量。若有
則 且
即線性無關
七、證明：證:因nn矩陣a是正定的，所以a是可逆的，對於任意不為零的n維向量x，ax≠0，a2x=a（ax）≠0，a3x≠0，xa6x= (a3x)t(a3x) ≠0，所以a6是正定的．
高等代數》試卷
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