河南理工大學2009—2010 學年第 2 學期《高等代數》試卷
一、填空：（每小題5分，共55分）
1．實二次型的規範形由所唯一確定.
2．滿足時，二次型是正定二次型.
3．復矩陣的全體特徵值的和等於全體特徵值的積等於 .
4．已知階矩陣的特徵值為，則的特徵值為
5．複數集合c看成複數域c上的線性空間，它的維數是 ，複數集合c看成實數域r上的線性空間，它的維數是 。
6．已知是乙個正交矩陣，那麼
7．已知是數域中的乙個固定的數，而
是的乙個子空間，則維
8．設，若a的初等因子為：
則a的若當標準形為
9．設是線性空間v的一組基，
則由基到基的過渡矩陣t
10．設線性空間的線性變換為：
則在標準基下的矩陣為
11．設，
則二、計算與證明：（共45分）
1．（5分）證明：如果都是階正定矩陣，則也是正定矩陣.
2．（15分）已知二次型，求乙個正交變換, 把二次型化為標準型.
3．（10分）設與分別是齊次方程組
與的解空間，證明.
4．（15分）設是數域上的2級全體方陣所成的線性空間，定義的乙個線性變換如下：
（1） 求在基下的矩陣；
（2） 求的值域.
答案一、填空：（每小題4分，共56分）
1）的秩和正慣性指數; 2）; 3）;
4）3，-5，-11; 5) 1, 26), ;
7) ; 8) ; 9) ;
10）; 11）,；
二、計算與證明：（共44分）
1. （5分）
證明：令
則因為都是正定矩陣，所以對任意的，有
所以則二次型為正定二次型
所以為正定矩陣
2．（15分）解
二次型的矩陣為
故的特徵值為
當時, 解方程，由
得基礎解系. 取
當時，解方程，由
得基礎解系
將正交化得
再將單位化得
於是正交矩陣為
則正交變換為
則有3. 證：的解空間是維，基為
的解空間的基為
因為由構成的矩陣a滿足
所以為的基，故
又因為所以
4. 解 1)
類似有設在基下的矩陣為b，則
2) 令其中為的列向量，由於秩b=2，
且為的乙個極大線性無關組 則
其中且為值域的一組基.
高等代數經典課件
第一章多項式 1 數域 關於數的加 減 乘 除等運算的性質通常稱為數的代數性質.代數所研究的問題主要涉及數的代數性質，這方面的大部分性質是有理數 實數 複數的全體所共有的.定義1 設是由一些複數組成的集合，其中包括0與1.如果中任意兩個數的和 差 積 商 除數不為零 仍然是中的數，那麼就稱為乙個數域...
高等代數課程簡介
北京大學數學科學學院 高等代數 課程簡介 高等代數 是北京大學數學科學學院 由數學 概率統計 科學與工程計算 資訊科學 金融數學五個系組成 本科一年級的三門最重要的基礎課之一，為期一學年，教學時間30周，複習 考試4周，總共10學分 每學期5學分 每年學生約260人 包括本院學生 元培班學生和重修的...
高等代數試題三
一 計算 20分 1 2 二 證明 20分 1 若向量組線性無關，則它們的部分向量組也線性無關。2 若向量組中部分向量線性相關，則向量組必線性相關 三 15分 已知a為n階方陣為a的伴隨陣，則 a 0，的秩為1或0。四 10分 設a為n階陣，求證，rank a i rank a i n 五 15分 ...