第一章多項式
§1 數域
關於數的加、減、乘、除等運算的性質通常稱為數的代數性質.代數所研究的問題主要涉及數的代數性質，這方面的大部分性質是有理數、實數、複數的全體所共有的.
定義1 設是由一些複數組成的集合，其中包括0與1.如果中任意兩個數的和、差、積、商（除數不為零）仍然是中的數，那麼就稱為乙個數域.
顯然全體有理數組成的集合、全體實數組成的集合、全體複數組成的集合都是數域.這三個數域分別用字母q、r、c來代表.全體整數組成的集合就不是數域.
如果數的集合中任意兩個數作某一種運算的結果都仍在中，就說數集對這個運算是封閉的.因此數域的定義也可以說成，如果乙個包含0，1在內的數集對於加法、減法、乘法與除法（除數不為零）是封閉的，那麼就稱為乙個數域.
例1 所有具有形式
的數（其中是任何有理數），構成乙個數域.通常用來表示這個數域.
例2 所有可以表成形式
的數組成一數域，其中為任意非負整數，是整數.
例3 所有奇數組成的數集，對於乘法是封閉的，但對於加、減法不是封閉的.
性質：所有的數域都包含有理數域作為它的一部分.
§2 一元多項式
一、一元多項式
定義2 設是一非負整數，形式表示式
1)其中全屬於數域，稱為係數在數域中的一元多項式，或者簡稱為數域上的一元多項式.
在多項式（1）中，稱為次項，稱為次項的係數.以後用或等來表示多項式.
注意：這裡定義的多項式是符號或文字的形式表示式.
定義3 如果在多項式與中，除去係數為零的項外，同次項的係數全相等，那麼與就稱為相等，記為.
係數全為零的多項式稱為零多項式，記為0.
在（1）中，如果，那麼稱為多項式（1）的首項，稱為首項係數，稱為多項式（1）的次數.零多項式是唯一不定義次數的多項式.多項式的次數記為.
二、多項式的運算
設是數域上兩個多項式，那麼可以寫成
在表示多項式與的和時，如，為了方便起見，在中令，那麼與的和為
而與的乘積為
其中次項的係數是
所以可表成
.顯然，數域上的兩個多項式經過加、減、乘運算後，所得結果仍然是數域上的多項式.
對於多項式的加減法，不難看出
.對於多項式的乘法，可以證明，若，則，並且
由以上證明看出，多項式乘積的首項係數就等於因子首項係數的乘積.
顯然上面的結果都可以推廣到多個多項式的情形.
多項式的運算滿足以下的一些規律：
1. 加法交換律：.
2. 加法結合律：
3. 乘法交換律：.
4. 乘法結合律：
5. 乘法對加法的分配律：
6. 乘法消去律：若且，則.
定義4 所有係數在數域中的一元多項式的全體，稱為數域上的一元多項式環，記為，稱為的係數域.
§3 整除的概念
在一元多項式環中，可以作加、減、乘三種運算，但是乘法的逆運算—除法—並不是普遍可以做的.因之整除就成了兩個多項式之間的一種特殊的關係.
一、整除的概念
帶餘除法對於中任意兩個多項式與，其中，一定有中的多項式存在，使
1)成立，其中或者，並且這樣的是唯一決定的.
帶餘除法中所得的通常稱為除的商，稱為除的余式.
定義5 數域上的多項式稱為整除，如果有數域上的多項式使等式
成立.用「」表示整除，用「」表示不能整除.
當時，就稱為的因式，稱為的倍式.
當時，帶餘除法給出了整除性的乙個判別條件.
定理1 對於數域上的任意兩個多項式，，其中，的充要條件是除的余式為零.
帶餘除法中必須不為零.但中，可以為零.這時.
當時，如，除的商有時也用
來表示.
二、整除的性質
1. 任一多項式一定整除它自身.
2. 任一多項式都能整除零多項式0.
3. 零次多項式，即非零常數，能整除任乙個多項式.
4. 若，則,其中為非零常數.
5. 若，則（整除的傳遞性）.
6. 若，則
,其中是數域上任意的多項式.
通常，稱為的乙個組合.
由以上性質可以看出，與它的任乙個非零常數倍有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多項式整除性的討論中，常常可以用來代替.
最後，兩個多項式之間的整除關係不因係數域的擴大而改變.即若，是中兩個多項式，是包含的乙個較大的數域.當然，，也可以看成是中的多項式.
從帶餘除法可以看出，不論把，看成是中或者是中的多項式，用去除所得的商式及余式都是一樣的.因此，若在中不能整除，則在中，也不能整除.
例1 證明若，則
例2 求，使 .
例3 若，則.
§4 多項式的最大公因式
一 、多項式的最大公因式
如果多項式既是的因式，又是的因式，那麼就稱為與的乙個公因式.
定義6 設與是中兩個多項式. 中多項式稱為，的乙個公因式,如果它滿足下面兩個條件：
1）是與的公因式；
2），的公因式全是的因式.
例如，對於任意多項式，就是與0的乙個最大公因式.特別地，根據定義，兩個零多項式的最大公因式就是0.
引理如果有等式
1)成立，那麼，和，有相同的公因式.
定理2 對於的任意兩個多項式，，在中存在乙個最大公因式，且可以表成，的乙個組合，即有中多項式使
2)由最大公因式的定義不難看出，如果是，的兩個最大公因式，那麼一定有與，也就是說.這就是說，兩個多項式的最大公因式在可以相差乙個非零常數倍的意義下是唯一確定的.兩個不全為零的多項式的最大公因式總是乙個非零多項式.
在這個情形，我們約定，用
（，）來表示首項係數是1的那個最大公因式.
定理證明中用來求最大公因式的方法通常稱為輾轉相除法(division algorithm).
例設求（，），並求使
.注：定理2的逆不成立.例如令,則
.但顯然不是與的最大公因式.
但是當(2)式成立，而是與的乙個公因式，則一定是與的乙個最大公因式.
二、多項式互素
定義7 中兩個多項式，稱為互素（也稱為互質）的，如果
顯然,兩個多項式互素,那麼它們除去零次多項式外沒有其他的公因式，反之亦然.
定理3 中兩個多項式，互素的充要條件是有中多項式使
.定理4 如果，且,那麼
.推論1 如果，且,那麼
.推論2 如果,,那麼
推廣：對於任意多個多項式，稱為的乙個最大公因式，如果具有下面的性質：
1）;2）如果，那麼.
我們仍用符號來表示首項係數為1的最大公因式.不難證明的最大公因式存在，而且當全不為零時，
就是的最大公因式，即
=同樣，利用以上這個關係可以證明，存在多項式,使
如果，那麼就稱為互素的.同樣有類似定理3的結論.
注意 1)當乙個多項式整除兩個多項式之積時,若沒有互素的條件,這個多項式一般不能整除積的因式之一.例如,但,且.
2) 推論1中沒有互素的條件,則不成立.如,,
,則,但.
注意: 個多項式互素時,它們並不一定兩兩互素.例如,多項式
是互素的,但.
令是含的乙個數域, 是的多項式與在中的首項係數為1的最大公因式,而是與在中首項係數為1的最大公因式,那麼.
即從數域過渡到數域時, 與的最大公因式本質上沒有改變.
互素多項式的性質可以推廣到多個多項式的情形：
1)若多項式與
互素，則.
2) 若多項式都整除，且兩兩互素，則.
3) 若多項式都與互素，則
.§5 因式分解定理
一、不可約多項式
.定義8 數域上次數的多項式稱為域上的不可約多項式(irreducible polynomical)，如果它不能表成數域上的兩個次數比的次數低的多項式的乘積.
根據定義，一次多項式總是不可約多項式.
乙個多項式是否可約是依賴於係數域的.
顯然，不可約多項式的因式只有非零常數與它自身的非零常數倍這兩種，此外就沒有了.反過來，具有這個性質的次數的多項式一定是不可約的.由此可知，不可約多項式與任一多項式之間只可能有兩種關係，或者或者.
定理5 如果是不可約多項式，那麼對於任意的兩個多項式，由一定推出或者.
推廣：如果不可約多項式整除一些多項式的乘積，那麼一定整除這些多項式之中的乙個.
二、因式分解定理
因式分解及唯一性定理數域上次數的多項式都可以唯一地分解成數域上一些不可約多項式的乘積.所謂唯一性是說，如果有兩個分解式
,那麼必有，並且適當排列因式的次序後有
.其中是一些非零常數.
應該指出，因式分解定理雖然在理論上有其基本重要性，但是它並沒有給出乙個具體的分解多項式的方法.實際上，對於一般的情形，普遍可行的分解多項式的方法是不存在的.
在多項式的分解式中，可以把每乙個不可約因式的首項係數提出來，使它們成為首項係數為1的多項式，再把相同的不可約因式合併.於是的分解式成為
,其中是的首項係數，是不同的首項係數為1的不可約多項式，而是正整數.這種分解式稱為標準分解式.
如果已經有了兩個多項式的標準分解，就可以直接寫出兩個多項式的最大公因式.多項式與的最大公因式就是那些同時在與的標準分解式**現的不可約多項式方冪的乘積，所帶的方冪的指數等於它在與中所帶的方冪中較小的乙個.
由以上討論可以看出，帶餘除法是一元多項式因式分解理論的基礎.
若與的標準分解式中沒有共同的不可約多項式，則與互素.
注意：上述求最大公因式的方法不能代替輾轉相除法，因為在一般情況下，沒有實際分解多項式為不可約多項式的乘積的方法，即使要判斷數域上乙個多項式是否可約一般都是很困難的.
例在有理數域上分解多項式為不可約多項式的乘積.
§6 重因式
一、重因式的定義
定義9 不可約多項式稱為多項式的重因式,如果,但.
如果，那麼根本不是的因式；如果，那麼稱為的單因式；如果，那麼稱為的重因式.
注意. 重因式和重因式是兩個不同的概念,不要混淆.
顯然，如果的標準分解式為
,那麼分別是的重，重，… ,重因式.指數的那些不可約因式是單因式；指數的那些不可約因式是重因式.
不可約多項式是多項式的重因式的充要條件是存在多項式,使得,且.
二、重因式的判別
設有多項式
,規定它的微商（也稱導數或一階導數）是
.通過直接驗證,可以得出關於多項式微商的基本公式:
同樣可以定義高階微商的概念.微商稱為的一階微商；的微商稱為的二階微商；等等. 的階微商記為.
乙個次多項式的微商是乙個次多項式；它的階微商是乙個常數；它的階微商等於0.
高等代數》試卷
河南理工大學2009 2010 學年第 2 學期 高等代數 試卷 一 填空 每小題5分，共55分 1 實二次型的規範形由所唯一確定.2 滿足時，二次型是正定二次型.3 復矩陣的全體特徵值的和等於全體特徵值的積等於 4 已知階矩陣的特徵值為，則的特徵值為 5 複數集合c看成複數域c上的線性空間，它的維...
高等代數課程簡介
北京大學數學科學學院 高等代數 課程簡介 高等代數 是北京大學數學科學學院 由數學 概率統計 科學與工程計算 資訊科學 金融數學五個系組成 本科一年級的三門最重要的基礎課之一，為期一學年，教學時間30周，複習 考試4周，總共10學分 每學期5學分 每年學生約260人 包括本院學生 元培班學生和重修的...
高等代數試題三
一 計算 20分 1 2 二 證明 20分 1 若向量組線性無關，則它們的部分向量組也線性無關。2 若向量組中部分向量線性相關，則向量組必線性相關 三 15分 已知a為n階方陣為a的伴隨陣，則 a 0，的秩為1或0。四 10分 設a為n階陣，求證，rank a i rank a i n 五 15分 ...