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全國2023年4月高等教育自學考試
線性代數試題
課程**：02198
試卷說明：at表示矩陣a的轉置矩陣，a*表示矩陣a的伴隨矩陣，e是單位矩陣，表示方陣a的行列式。
一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個備選項中只有乙個是符合題目要求的，請將其**填寫在題後的括號內。錯選、多選或未選均無分。
1．行列式的值為（ ）
a．2 b．1
c．0 d．-1
2．設n階方陣a，b，c滿足abc=e，則必有（ ）
a．acb=e b．cba=e
c．bac=e d．bca=e
3．設n階方陣a中有n2-n個以上元素為零，則的值（ ）
a．大於零 b．等於零
c．小於零 d．不能確定
4．設3階矩階a=（α1，β，γ），b=（α2，β，γ），且=2， =-1，則=（ ）
a．4 b．2
c．1 d．-4
5．線性方程組有解的充分必要條件是α=（ ）
a．-1 b．-
c． d．1
6．設a為m×n矩陣，則非齊次線性方程組ax=b有惟一解的充分必要條件是（ ）
a．m=n
b．ax=0只有零解
c．向量b可由a的列向量組線性表出
d．a的列向量組線性無關，而增廣矩陣的列向量組線性相關
7．設a為3階矩陣，a的特徵值為0，1，2，那麼齊次線性方程組ax=0的基礎解系所含解向量的個數為（ ）
a．0 b．1
c．2 d．3
8．設矩陣a=，則a為（ ）
a．對稱矩陣 b．反對稱矩陣
c．正交矩陣 d．正定矩陣
9．下列二次型中為規範形的是（ ）
a．- b．-
c．- d．
10．已知a是n階實對稱矩陣，a2=a，秩（a）=n，則xtax是（ ）
a．正定二次型 b．負定二次型
c．半正定二次型 d．不定二次型
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請在每小題的空格中填上正確答案.錯填、不填均無分。
11．行列式中（2，3）元素的代數余子式a23的值為______.
12．設a是4階方陣， =-2，則
13．設矩陣a=，則a-1
14．向量組α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩為________.
15．設向量組α1，α2，…，αs線性無關，且可以由向量組β1，β2，…，βt線性表出，則s與t的大小關係為_______.
16．若α1，α2，α3都是齊次線性方程組ax=0的解向量，則a（3α1-5α2+2α3）=______.
17．設α，β是n元非齊次線性方程組ax=b的兩個不同的解，秩（a）=n-1，那麼方程組ax=b所對應的齊次線性方程組ax=0的全部解為_____.
18．已知方程組有非零解，則t
19．設矩陣a=與b=相似，則y=_______.
20．設矩陣a=，則與其相似的對角矩陣有________.
三、計算題（本大題共6小題，每小題8分，共48分）
21．計算行列式的值.
22．設a=，且矩陣x滿足ax=a+2x，求x.
23．設a=，求一秩為2的3階方陣b使ab=0.
24.求線性方程組的通解，並用其基礎解系表示.
25．求矩陣a=的所有特徵值，指出a能否與對角矩陣相似，並說明理由.
26．已知二次型f(x1,x2,x3)=的矩陣a的乙個特徵值為1，求α並寫出該二次型的標準形.
四、證明題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
27．已知向量組α1，α2，α3線性無關，證明向量組α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1線性無關.
28．設a，b都是正交矩陣，證明ab也是正交矩陣.
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