湛江師範學院2023年本科插班生考試試卷(a)
高等代數
(考試時間:120分鐘)
一、選擇題(每小題2分，共16分)
1．方程=0的根為( b )。
a. 1，2，3 b. 1，2，-2 c. 0，1，2 d. 1，-1，2
2． 設是數域上的階方陣，則方程組對任意的有解的充分必要條件是（a ）。
a. 秩b. c. 秩（）< d. 秩（）=0
3．已知線性空間的乙個基為則向量在該基下的座標是 (d)
a. b. c. d.
4．已知為正定二次型，則的取值範圍為( b )
ab. c. d.
5．已知，，若與相似，則(b)
a. 4 b. 6 c. 5 d. 2
6.若數域上的多項式互素,則(b )。
a.,在上必互素；
b.若, ,則；
c.兩兩互素；
d. 存在，使=1
7．設和是數域上線性空間的子空間，則下列集合不是的子空間的有（d ）。
a. b. c. d.
8．設為同階方陣，為單位矩陣，若，則下列各式中總成立的有（ a ）。
a. b. c. d. 以上都不對
二、填空題(每小題2分，共16分)
1．設2是多項式的二重根，則= -6 ， = 16 。
2．設為的代數余子式，且並且則_1___.
3．設向量組的秩為,向量組b的秩為，且a組可由b組線性表示，則與的關係
為4．設且則__1____.
5．設向量組是維歐氏空間的一組標準正交基，為上的線性變換，
。則也是的標準正交基的充分必要條件是為正交矩陣 。
6．設，，，若線性無關，則=。
7．已知，則
8．設3階方陣的特徵值為：1，-2，-3，則的特徵值為 6，9，22 。
三、簡答題(共8分)
設是數域上維線性空間中的線性無關組。
（1） 向量組中是否可能存在相同的向量？為什麼？
（2） 向量組是否構成的基？為什麼？
答：（1）不可能。因為假設（），則，即得線性相關這一矛盾。
（2）當是偶數時，因為
，所以該向量組線性相關，故不是的基；
當是奇數時，因為向量組線性無關，所以是的基。
四．計算題(共32分)
1．(6分) 設4元非齊次線性方程組的係數矩陣的秩為2,已知它的3個解向量為，，。其中
，，。求該方程組的通解。
解：依題意，方程組的匯出組的基礎解系含4-2=2個向量，於是：
， 是匯出組的解，且它們線性無關，
故它們可作為的基礎解系，又是的乙個解，
∴==（為任意常數）。
2．(10分)設實對稱矩陣，試求出正交矩陣使為對角矩陣
解： ==
=∴，為的特徵值。
當時，，由，解得基礎解系為：，，
當時，由，得基礎解系為：；
再把正交化，令， ==
再單位化：令， =，
把單位化： =
令=，則。
3．(8分)用初等變換法將二次型化為標準形,並求所用的線性替換。
解：二次型的矩陣為：
故，∵，故為可逆的的線性替換，
即二次型經可逆線性變換化為標準形：。
4．(8分)設有向量組，，，，求向量組的乙個極大無關組，並把不屬於極大無關組的向量用極大無關組表示。
解：設為以為列向量構成的矩陣，對施行初等行變換化為如下的階梯形矩陣：
由於秩（）=3，故向量組的極大無關組含3個向量，而三個非零行的首非零元在第1，2，4三列，故為向量組的乙個極大無關組。
， 五．證明題(共28分)
1．(10分)設，若，，證明：若，且和不全為零，則=1；反之，若=1，則是和的乙個最大公因式。
證明：由，且不全為零，得，且存在，使，兩邊除以得：
故： =1
反之，若，則，是與的最大公因式；若，由
=1，有，使，
從而得到：
即若對任意的，且，則由上式得
故：是，的乙個最大公因式。
2．(10分)設向量組線性無關，向量可以由向量組線性表示，而向量不能由向量組線性表示，證明：向量組必線性無關（其中為常數）.
證明：設存在數使
若，則可由線性表示，
又可由線性表示，故可由線性表示，與題設矛盾；
故，又線性無關，
∴∴ （*）式僅當時才成立，
∴線性無關。
3．(8分)設是數域上的階方陣，並且，表示的伴隨矩陣，證明：。
證明：∵，∴
故可逆，且又∴∴
2023年本科插班生常見考生問答
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