一、知識回顧:
1．多面體的面積和體積公式
表中s表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h′表示斜高，l表示側稜長。
2．旋轉體的面積和體積公式
表中l、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓台上、下底面半徑，r表示半徑。
3．球的截面：
用乙個平面去截乙個球，截面是圓面.
過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經過球心的截面截得的圓叫做球的小圓。
4．經度、緯度：
經線：球面上從北極到南極的半個大圓；
緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；
經度：某地的經度就是經過這點的經線與地軸確定的半平面與經線及軸確定的半平面所成的二面角的度數。
緯度：某地的緯度就是指過這點的球半徑與赤道平面所成角的度數。
5. 兩點的球面距離：
球面上兩點之間的最短距離，就是經過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離
兩點的球面距離公式：（其中r為球半徑，為a,b所對應的球心角的弧度數）
a,b兩點的球面距離=
二、典型例題
題型1：柱體的體積和表面積
例1．乙個長方體全面積是20cm2，所有稜長的和是24cm，求長方體的對角線長.
例2．如圖1所示，在平行六面體abcd—a1b1c1d1中，已知ab=5，ad=4，aa1=3，ab⊥ad，∠a1ab=∠a1ad=。
（1）求證：頂點a1在底面abcd上的射影o在∠bad的平分線上；
（2）求這個平行六面體的體積。
圖1圖2
題型2：柱體的表面積、體積綜合問題
例3．（2000全國，3）乙個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（ ）
a．2b．3c．6d．
例4．如圖，三稜柱abc—a1b1c1中，若e、f分別為ab、ac 的中點，平面eb1c1將三稜柱分成體積為v1、v2的兩部分，那麼v1∶v2
題型3：錐體的體積和表面積
例5．（2006上海，19）在四稜錐p－abcd中，底面是邊長為2的菱形，∠dab＝60，對角線ac與bd相交於點o，po⊥平面abcd，pb與平面abcd所成的角為60，求四稜錐p－abcd的體積？
例6．（2002京皖春文，19）在三稜錐s—abc中，∠sab=∠sac=∠acb=90°，且ac=bc=5，sb=5。（如圖所示）
（ⅰ）證明：sc⊥bc；
（ⅱ）求側面sbc與底面abc所成二面角的大小；
（ⅲ）求三稜錐的體積vs－abc。
題型4：錐體體積、表面積綜合問題
例7．abcd是邊長為4的正方形，e、f分別是ab、ad的中點，gb垂直於正方形abcd所在的平面，且gc＝2，求點b到平面efc的距離？
例8．（2006江西理，12）如圖，在四面體abcd中，截面aef經過四面體的內切球（與四個面都相切的球）球心o，且與bc，dc分別截於e、f，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四稜錐a－befd與三稜錐a－efc的表面積分別是s1，s2，則必有（ ）
a．s1s2 b．s1s2
c．s1=s2 d．s1，s2的大小關係不能確定
題型5：圓柱的體積、表面積及其綜合問題
例9．（2000全國理，9）乙個圓柱的側面積展開圖是乙個正方形，這個圓柱的全面積與側面積的比是（ ）
abcd．
例12．（2003京春理13，文14）如圖9—9，乙個底面半徑為r的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入乙個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好公升高r，則
題型6：圓錐的體積、表面積及綜合問題
例13．（1）（2002京皖春，7）在△abc中，ab=2，bc=1.5，∠abc=120°（如圖所示），若將△abc繞直線bc旋轉一周，則所形成的旋轉體的體積是（ ）
abcd．π
（2）（2001全國文，3）若乙個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是（ ）
a．3b．3c．6d．9π
例14．（2000全國文，12）如圖所示，oa是圓錐底面中心o到母線的垂線，oa繞軸旋轉一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（ ）
abcd．
題型7：球的體積、表面積
例15．已知過球面上三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。
例16．如圖所示，球面上有四個點p、a、b、c，如果pa，pb，pc兩兩互相垂直，且pa=pb=pc=a，求這個球的表面積。
題型8：球的面積、體積綜合問題
例17．（1）（2006四川文，10）如圖，正四稜錐底面的四個頂點在球的同乙個大圓上，點在球面上，如果，則球的表面積是（ ）
a． b． c． d．
（2）半球內有乙個內接正方體，正方體的乙個面在半球的底面圓內，若正方體稜長為，求球的表面積和體積。
例18．（1）表面積為的球，其內接正四稜柱的高是，求這個正四稜柱的表面積。
（2）正四面體abcd的稜長為a，球o是內切球，球o1是與正四面體的三個面和球o都相切的乙個小球，求球o1的體積。
題型9：球的經緯度、球面距離問題
例19．（1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等於多少？（地球半徑大約為）
（2）在半徑為的球面上有三點，，求球心到經過這三點的截面的距離。
例20．在北緯圈上有兩點，設該緯度圈上兩點的劣弧長為（為地球半徑），求兩點間的球面距離。
解：設長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm
依題意得：
由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）
由（3）－（1）得x2+y2+z2=16
即l2=16
所以l=4(cm)。
點評：涉及稜柱面積問題的題目多以直稜柱為主，而直稜柱中又以正方體、長方體的表面積多被考察。我們平常的學習中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內切）與面積、體積之間的關係。
解析：（1）如圖2，鏈結a1o，則a1o⊥底面abcd。作om⊥ab交ab於m，作on⊥ad交ad於n，鏈結a1m，a1n。
由三垂線定得得a1m⊥ab，a1n⊥ad。∵∠a1am=∠a1an，
∴rt△a1na≌rt△a1ma,∴a1m=a1n，
從而om=on。
∴點o在∠bad的平分線上。
（2）∵am=aa1cos=3×=
∴ao==。
又在rt△aoa1中，a1o2=aa12 – ao2=9－=，
∴a1o=，平行六面體的體積為。
解析：設長方體共一頂點的三邊長分別為a=1，b＝，c＝，則對角線l的長為l=；答案d。
點評：解題思路是將三個面的面積轉化為解稜柱面積、體積的幾何要素—稜長。
解：設三稜柱的高為h，上下底的面積為s，體積為v，則v=v1+v2＝sh。
∵e、f分別為ab、ac的中點，
∴s△aef=s,
v1=h(s+s+)=sh
v2=sh-v1=sh，
∴v1∶v2=7∶5。
點評：解題的關鍵是稜柱、稜臺間的轉化關係，建立起求解體積的幾何元素之間的對應關係。最後用統一的量建立比值得到結論即可。
解：（1）在四稜錐p-abcd中，由po⊥平面abcd,得∠pbo是pb與平面abcd所成的角，∠pbo=60°。
在rt△aob中bo=absin30°=1, 由po⊥bo，
於是po=botan60°=，而底面菱形的面積為2。
∴四稜錐p－abcd的體積v=×2×=2。
點評：本小題重點考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、稜錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。
解析：（ⅰ）證明：∵∠sab=∠sac=90°，
∴sa⊥ab，sa⊥ac。
又ab∩ac=a，
∴sa⊥平面abc。
由於∠acb=90°，即bc⊥ac，由三垂線定理，得sc⊥bc。
（ⅱ）解：∵bc⊥ac，sc⊥bc。
∴∠sca是側面scb與底面abc所成二面角的平面角。
在rt△scb中，bc=5，sb=5，得sc==10。
在rt△sac中ac=5，sc=10，cossca=，
∴∠sca=60°，即側面sbc與底面abc所成的二面角的大小為60°。
（ⅲ）解：在rt△sac中，
∵sa=，
s△abc=·ac·bc=×5×5=，
∴vs－abc=·s△acb·sa=。
點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關係。要求對圖形必須具備一定的洞察力，並進行一定的邏輯推理。
解：如圖，取ef的中點o，連線gb、go、cd、fb構造三稜錐b－efg。
設點b到平面efg的距離為h，bd＝，ef，co＝。
。而gc⊥平面abcd，且gc＝2。
由，得·
點評：該問題主要的求解思路是將點麵的距離問題轉化為體積問題來求解。構造以點b為頂點，△efg為底面的三稜錐是解此題的關鍵，利用同乙個三稜錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運算。
解：連oa、ob、oc、od，
則va－befd＝vo－abd＋vo－abe＋vo－befd
va－efc＝vo－adc＋vo－aec＋vo－efc又va－befd＝va－efc，
而每個三稜錐的高都是原四面體的內切球的半徑，故sabd＋sabe＋sbefd＝sadc＋saec＋sefc又面aef公共，故選c
點評：該題通過復合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解稜錐的體積、表面積首先要轉化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應關係。
1表面積體積同步練習
一.選擇題 將正確答案的序號填在括號裡 1 乙個手指尖的體積大約是 顯示解析 2 粉筆盒的體積最接近於 顯示解析 3 我們班教室大約占有空間200 顯示解析 4 乙個文具盒的體積約280 顯示解析 5 一台電視機的體積約是 立方分公尺 顯示解析 6 一杯水中有一塊石頭，將石頭取出，水面會 顯示解析 ...
第2練球的表面積體積
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體積表面積
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