1． 圓心為c(a、b)，半徑為r的圓的標準方程為
2．圓的一般方程x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0(其中d2＋e2－4f>0)，圓心為半徑r
3．二元二次方程ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝0表示圓的方程的充要條件是
4．圓c：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的引數方程為x2＋y2＝r2的引數方程為
5．過兩圓的公共點的圓系方程：設⊙c1：x2＋y2＋d1x＋e1y＋f1＝0，⊙c2：x2＋y2＋d2x＋e2y＋f2＝0，則經過兩圓公共點的圓系方程為
例1. 根據下列條件，求圓的方程．
(1) 經過a(6，5)，b(0，1)兩點，並且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上．
(2) 經過p(－2，4)，q(3，－1)兩點，並且在x軸上截得的弦長為6．
解：(1)∵ab的中垂線方程為3x＋2y－15＝0
由解得∴圓心為c(7，－3)，半徑r＝
故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65
(2)設圓的一般方程為x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0
將p、q兩點座標代入得
令y＝0得x2＋dx＋f＝0
由弦長|x1－x2|＝6得d2－4f＝36 ③
解①②③可得d＝－2，e＝－4，f＝－8或d＝－6，e＝－8，f＝0
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
變式訓練1：求過點a（2，－3），b（－2，－5），且圓心在直線x－2y－3=0上的圓的方程．
由a（2，－3），b（－2，－5），得直線ab的斜率為kab= =,
線段ab的中點為（0，－4），線段ab的中垂線方程為y＋4=－2x,即y＋2x ＋4=0,
解方程組得
∴圓心為（－1，－2），根據兩點間的距離公式，得半徑r==
所求圓的方程為（x＋1)2＋(y＋2)2=10
例2. 已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交於p，q兩點，且op⊥oq（o為座標原點），求該圓的圓心座標及半徑.
解方法一將x=3-2y,
代入方程x2+y2+x-6y+m=0,
得5y2-20y+12+m=0.
設p（x1,y1）,q(x2,y2),則y1、y2滿足條件：
y1+y2=4,y1y2=
∵op⊥oq,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2.
∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.
∴m=3,此時δ＞0,圓心座標為,半徑r=.
方法二如圖所示，設弦pq中點為m，
∵o1m⊥pq，∴.
∴o1m的方程為:y-3=2,
即：y=2x+4.
由方程組
解得m的座標為（-1，2）.
則以pq為直徑的圓可設為（x+1）2+（y-2）2=r2.
∵op⊥oq，∴點o在以pq為直徑的圓上.
∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,mq2=r2.
在rt△o1mq中，o1q2=o1m2+mq2.
∴(3-2)2+5=
∴m=3.∴半徑為,圓心為.
方法三設過p、q的圓系方程為
x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.
由op⊥oq知，點o（0，0）在圓上.
∴m-3=0，即m=3.
∴圓的方程可化為
x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0
即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.
∴圓心m，又圓在pq上.
∴-+2（3-）-3=0，
∴=1，∴m=3.
∴圓心為，半徑為.
變式訓練2：已知圓c：（x-1）2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈r).
（1）證明：不論m取什麼實數，直線l與圓c恆相交；
（2）求直線l被圓c截得的弦長的最短長度及此時的直線方程.
（1）證明直線l可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,
即不論m取什麼實數，它恆過兩直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點.
兩方程聯立，解得交點為（3，1），
又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,
∴點（3，1）在圓內部，
∴不論m為何實數，直線l與圓恆相交.
（2）解從（1）的結論和直線l過定點m（3，1）且與過此點的圓c的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|ab|最短，由垂徑定理得
|ab|=2=
此時，kt=-,從而kt=-=2.
∴l的方程為y-1=2(x-3),即2x-y=5.
例3. 知點p（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上任意一點.
（1）求p點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；
（2）求x-2y的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
解 （1）圓心c（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為
d=.∴p點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為
d+r=+1=，最小值為d-r=-1=.
（2）設t=x-2y,
則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點.
∴≤1.∴--2≤t≤-2，
∴tmax=-2，tmin=-2-.
（3）設k=，
則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點，
∴≤1.∴≤k≤,
∴kmax=，kmin=.
變式訓練3：已知實數x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求x2+y2的最大值和最小值.
解 （1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b=-2±.
所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-.
（2）x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值.
又圓心到原點的距離為=2，
所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，
x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.
例4. 設圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．在滿足條件①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程。
解法一設圓的圓心為p（a,b),半徑為r，則點p到x軸y軸的距離分別為∣b∣、∣a∣。
由題設條件知圓p截x軸所得的劣弧所對的圓心角為90°，圓p截x軸所得的弦長為r，故r2=2b2．
又圓p截y軸所得的弦長為2，所以有r2=a2＋1,從而得2b2=a2＋1．
點p到直線x－2y=0的距離為d=,
∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab= 2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋1≥1
當且僅當a=b時取等號，此時，5d2=1, d取得最小值．
由a=b及2b2=a2＋1得，進而得r2=2
所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2
解法二同解法一，得d=，所以a－2b= ±d
a2=4b2±4bd＋5d2,將a2=2b2－1代入整理得2b2±4bd＋5d2＋1=0
把（※）看成關於b的二次方程，由於方程有實數根，故△≥0即
8（5d2－1)≥0, 5d2≥1可見5d2有最小值1，從而d有最小值，將其代入（※）式得2b2±4b＋2=0, b= ±1, r2=2b2=2, a2=2b2－1=1, a= ±1
由∣a－2b∣=1知a、b同號
故所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2
變式訓練4：如圖，圖o1和圓o2的半徑都等於1，o1o2＝4，過動點p分別作圓o1和圓o2的切線pm、pn(m、n為切點)，使得pm＝pn，試建立平面直角座標系，並求動點p的軌跡方程．
解：以o1、o2的中點為原點，o1o2所在的直線為x軸，
建立平面直角座標系，則o1(－2, 0)、o2(2, 0)．如圖：
由pm＝pn得pm2＝2pn2
∴ po12－1＝2(po22－1)，設p(x，y)
∴ (x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]
即(x－6)2＋y2＝33為所求點p的軌跡方程．
1．本節主要複習了圓的軌跡方程，要明確：必須具備三個獨立條件，才能確定乙個圓的方程．
2．求圓的方程時一般用待定係數法：若已知條件與圓心、半徑有關，可先由已知條件求出圓的半徑，用標準方程求解；
若條件涉及過幾點，往往可考慮用一般方程；
若所求的圓過兩已知圓的交點，則一般用圓系方程．
3．求圓方程時,若能運用幾何性質,如垂徑定理等往往能簡化計算．
4．運用圓的引數方程求距離的最值往往較方便．
5．點與圓的位置關係可通過點的座標代入圓的方程或點與圓心之間的距離與半徑的大小比較來確定.
第5課時圓的方程
一 內容歸納 1.知識精講.圓的方程 1 標準式 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中r為圓的半徑，a，b 為圓心。2 一般式 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 其中圓心為 半徑為，3 直徑式 x x1 x x2 y y1 y y2 0，其中點 x1，y1 x2，y2 是圓...
圓的標準方程》第1課時教學設計
一.教材的地位與作用 圓的標準方程處於北師大版數學必修2中的第二章的第二部分第一節。圓的標準方程是在直線方程結束後，學習三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論為後繼學習作好準備，也就是說，本節內容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多實際問題中也有著廣泛的應用。二 學情分析 學生...
導學案圓第3課時
24 1 2 垂直於弦的直徑 第3課時 姓名班級 學習目標 1 熟練掌握垂徑定理,理解並區分垂徑定理的推論。2 能用垂徑定理及其推論進行有關的計算和證明 學習重點 垂徑定理及其推論 及其在實際問題中的應用 學習難點 分清垂徑定理及其推論的題設和結論 垂徑定理 學習方法 加強小組合作學習，加強學生互相...