一. 教材的地位與作用
圓的標準方程處於北師大版數學必修2中的第二章的第二部分第一節。圓的標準方程是在直線方程結束後，學習三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論為後繼學習作好準備，也就是說，本節內容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多實際問題中也有著廣泛的應用。
二、學情分析
學生在初中的學習中已初步了解了圓的有關知識，本章節將在上章學習了直線與方程的基礎上，學習在平面直角座標系中建立圓的代數方程，運用代數方法研究直線與圓，圓與圓的位置關係，了解空間直角座標系，在這個過程中進一步體會數形結合的思想，形成用代數方法解決幾何問題的能力。
三．教學目標：
1．知識與技能
（1）會推導圓的標準方程。
（2）能運用圓的標準方程正確地求出其圓心和半徑。
（3）掌握圓的標準方程的特點，能根據所給有關圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程。
2.過程與方法目標
（1）體會數形結合思想，初步形成代數方法處理幾何問題能力。
（2）能根據不同的條件，利用待定係數法求圓的標準方程。
3.情感與態度目標
圓是基於初中的知識，同時又是初中的知識的加深，使學生懂得知識的連續性；圓在生活中很常見，通過圓的標準方程，說明理論既**於實踐，又服務於實踐，可以適時進行辯證唯物主義思想教育．
四．教學重點，難點
重點： 圓的標準方程的推導及依據條件正確求出圓的標準方程
難點： 圓的標準方程的應用
五．教學過程
一.複習提問
首先多**展示生活中常見的有關圓的**，在同學欣賞的過程中提出問題
問題1.初中我們應經學習了圓的相關知識，那麼那個同學能告訴大家什麼是圓？
平面內到一定點距離等於定長的點的軌跡稱為圓。
問題2.定義中提到的定點是圓的什麼？定長是圓的什麼？
定點是圓心，定長是圓的半徑。圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小．
那麼我們現在如果把圓放在了直角座標系中，我們怎麼用座標來刻畫圓呢？
（師生互動）教師在黑板上引導啟發同學們一起建立圓的標準方程，加深學生學習印象
二．建立圓的標準方程
現在我們求以c（a，b）為圓心，r為半徑的圓的方程
首先我們建立乙個直角座標系，設點m（x，y）是圓上任意一點，那點m在圓上的條件是|mc|=r，(其中a,b,r都是常數r0)那麼m,c,與r有什麼關係？能用座標表示嗎？由兩點間的距離公式讓學生寫出點m適合的條件
將上式兩邊平方得1)
顯然，圓上任意一點m的座標（x，y）適合方程（1）；如果平面上一點m的座標（x，y）適合方程（1），可得|mc|=r，則點m在圓上。
所以方程(1)是以c(a，b)為圓心、r為半徑的圓的方程．我們把它叫做圓的標準方程.
問題3.如果圓心在原點，圓的標準方程如何呢？（學生討論）
如果圓心在原點，即c(0，0)，半徑為r（r>0），
則有2）
（學法指導）引導學生明確確定圓的標準方程的兩要素及其結構特點，可以給
一、兩分鐘時間學生記憶。
三．應用舉例
基礎練習
1、 請說出下列各圓的圓心座標和半徑：①;②
③。2、 寫出滿足下列條件的圓的標準方程：
1 圓心為c（3，-2），半徑
2 圓心為c（0，-4），半徑；
3 圓心在原點，半徑
（設計意圖）通過此練習可以強化學生對圓的標準方程的理解和記憶，練習可以採用搶答的形式進行，起到活躍課堂氣氛和激發學生學習積極性的作用。
例題講解
例：已知兩點a(4,9),b(6,3),求以ab為直徑的圓的標準方程.
問題：（1）圓的半徑與直徑ab有何關係？能否求出來？根據什麼？
（2）圓心在直徑的什麼位置？能否求出來？根據什麼？
（通過回答問題讓學生自己找到解決此題的辦法，激發學生自主學習的興趣）
解:設圓的標準方程為（x－a）2+(y－b)2= r2 則
a=法1：r==
法2：可利用圓的定義計算半徑即圓心到點a或到點b的距離
∴所求圓的標準方程為
變式練習：圓心在點c(-2,1)，並過點a（2，-2）的圓。
（學生獨立完成並讓一名學生板書解題過程）
這時，教師小結本題：求圓的標準方程的方法
(1)定義法
(2) 待定係數法，確定a，b，r；
課堂鞏固練習
1、判斷下列命題是否正確：
（1）圓（x－1）2+(y－2)2= 3的圓心座標是（－1，－2），半徑為3；
（2）圓（x +1）2+(y +2)2= m2的圓心座標是（－1，－2），半徑為m。
2.求以點c（2，1）為圓心，並且與y軸相切的圓的方程。
我們對於剛才的結論做一些相應的練習，加深影響：練習1：根據已知條件寫出下列圓的方程：
（1） 圓心座標為（-2，1），半徑為3；
（2） 圓心為（2，-1），且過點（3，3）；
（3） 圓心為（3，1），且與直線3x-4y-6=0相切。
練習2：根據下列方程，指出圓的圓心位置以及半徑：
（1）（2）
注意：這裡的a，並不一定是半徑，半徑應該是|a|.
練習3：判斷下列點是否在圓上：
（1）a（3，0） （2）b（1,1） (3)c(2,-2)
再問：不在圓上的點是在圓內還是圓外？如何判定？
要時刻注意圓的標準方程的形式是有其重要的幾何意義的，它的左邊就表示到圓心距離的平方，所以，將點的座標代入圓的方程，如果座標等於右邊，則在圓上，若左邊大於右邊，則說明距離原點的距離大於半徑，一定是在圓外，若左邊小於右邊，則在圓內，即：
點（x,y）在圓上；
點（x,y）在圓外；
點（x,y）在圓內。
4、思考
如何確定乙個圓？除了剛才所說的乙個圓心和半徑，還有什麼？幾個點可以確定乙個圓？三個不在同一條直線上的點可以確定乙個圓。那麼給出三個點的座標：
例1：已知a(5,1),b(7,-3)，c(2,8)，則寫出過這三個點的圓的方程。
分析：相當於求三角形abc的外接圓的方程。要想寫出方程，必須知道圓心和半徑。
如何求圓心和半徑呢？根據外接圓的性質，圓心應該是三條邊的垂直平分線的交點，所以可以根據頂點座標求出垂直平分線的方程，在求出平分線的交點座標即圓心座標，在根據兩點間距離公式求半徑的長度。當然這樣做雖然很麻煩，但畢竟我們用我們以前所學的知識找到了解決問題的辦法。
那麼現在再想想，有沒有別的出路？
要求圓的方程，不如先設出它的方程來，再解出未知數。設該圓的方程為：，根據條件，三個點的座標都滿足該方程，列出式子，解出未知數：a,b,r即可。
解：設該圓的方程為，則
解出：a=2,b=-3,r=5
所以：圓的標準方程為：
這種方法在數學中很常見，叫做待定係數法。就是要求什麼就把未知數先設出來，然後根據條件列方程解出未知數來。總結就是三步：
設、列、解。這種方法易於思考，易於列式子，難點就是解未知數時，有時會遇到困難，這就需要同學們有紮實的計算和觀察能力，也需要同學們平時多多練習，數學總是熟能生巧的。
再來思考一道更加複雜一些的題目：
例2：已知圓心為c的圓經過點a(1,1)和b(2,-2)且圓心c在直線l:x-y+1=0上，求圓心為c的圓的標準方程。
分析：1、利用影象的性質，圓心一定**段ab的垂直平分線上，又已知在直線l上，所以先求出ab的垂直平分線方程，和直線l的方程聯立，解出圓心座標，在計算出半徑，即可寫出圓的標準方程。這叫數形結合法。
2、那麼利用我們剛才所學的待定係數法可以解決問題嗎？設出圓的方程，已知兩點座標代入得到兩個方程，又將圓心代入直線l的方程列乙個方程，三個方程，三個未知數，解出即可。
5、應用
下面我們來看乙個實際的問題，大家都知道我國著名的趙州橋，建於2023年，單圓拱石橋，全長64.4公尺，最大圓拱跨徑37.4公尺，拱高7.
2公尺。設計思想和建造工藝事世界石拱橋的卓越典範，它的建造是中國古代數學、物理學、工程學的結晶，體現了中國古代勞動人民的智慧型和力量。你能確定圓拱所屬圓的圓心和半徑嗎？
我們把它抽象成簡單的數學模型：
在此基礎上建立座標系，根據已知條件可以得到a,b,c,d點的座標，則利用待定係數法便可解出未知數，求出圓心座標以及半徑。
6、小結
我們今天主要學習了圓的標準方程，以及如何判斷點與圓的位置關係，如何根據已知條件求出圓的方程，在練習過程中我們還學習到了一種常用的數學方法：待定係數法，並通過練習感受到了它的作用。
五．作業設計
課本134頁習題4.1中a組題的2，3，4，6。
六．教後反思
通過本節課的學習，學生們對圓的標準方程的掌握還是達到目標的，對於待定係數法的應用，還需要進一步的練習才能熟練掌握，另外對於含字母的標準方程，描述它的圓心和半徑時還有一部分同學忘記半徑為正數的特點，在以後的教學過程中需要再次強調。
1、劉紹學主編，《普通高中課程標準實驗教科書－數學必修2》，人民教育出版社，2023年第二版；
2、劉紹學主編，《高中數學教師教學用書－數學必修2》，人民教育出版社，2023年第二版；
設計者：王琦
第5課時圓的方程
一 內容歸納 1.知識精講.圓的方程 1 標準式 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中r為圓的半徑，a，b 為圓心。2 一般式 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 其中圓心為 半徑為，3 直徑式 x x1 x x2 y y1 y y2 0，其中點 x1，y1 x2，y2 是圓...
第5課時圓的方程
1 圓心為c a b 半徑為r的圓的標準方程為 2 圓的一般方程x2 y2 dx ey f 0 其中d2 e2 4f 0 圓心為半徑r 3 二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圓的方程的充要條件是 4 圓c x a 2 y b 2 r2的引數方程為x2 y2 r2的引數方程為 ...
直線和圓的位置關係 第1課時 教學設計
執教者 樊建兵學校 瓜州縣第二中學 點評專家 朱小清工作單位 瓜州縣第二中學 教學設計 一 教材分析 直線和圓的位置關係是本章的重點內容之一。從知識體系上看，它既是點與圓位置關係的延續與提高，又是學習切線的判定定理 圓與圓位置關係的基礎。從數學思想方法層面上看它運用運動變化的觀點揭示了知識的發生過程...