一、內容歸納
1. 知識精講.
①圓的方程
(1)標準式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r為圓的半徑，(a，b)為圓心。
(2)一般式：x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2-4f>0)，其中圓心為(-，-)，半徑為，
(3)直徑式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中點(x1，y1)，(x2，y2)是圓的一條直徑的兩個端點。（用向量法證之）
（4）半圓方程：等
(5)圓系方程：
i)過圓c：x2+y2+dx+ey+f=0和直線l：ax+by+c=0的交點的圓的方程為x2+y2+dx+ey+f+λ(ax+by+c)=0
ii)過兩圓c1：x2+y2+d1x+e1y+f1=0，c2：x2+y2+d2x+e2y+f2=0的交點的圓的方程為x2+y2+d1x+e1y+f1+λ(x2+y2+d2x+e2y+f2)=0(λ≠-1)該方程不包括圓c2；
（時為一條直線方程，相交兩圓時為公共弦方程；兩等圓時則為兩圓的對稱軸方程）
(6) 圓的引數方程
圓心在(0,0),半徑為r的圓的引數方程為為引數
圓心在(a,b),半徑為r的圓的引數方程為為引數
②圓的一般方程與二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的關係；
二元二次方程表示圓的充要條件a=c≠0，b=0 ，d2+e2-4af>0。
二、問題討論
例1、根據下列條件，求圓的方程。
(1)和圓x2+y2=4相外切於點p(-1，)，且半徑為4；
(2)經過座標原點和點p(1，1)，並且圓心在直線2x+3y+1=0上；
(3)已知一圓過p(4，-2)、q(-1，3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的方程。
解：(1)設圓心q的座標為(a，b) ∵⊙o與⊙q相外切於p
∴o、p、q共線，且λ==-=- 由定比分點公式求得a=-3，b=3
∴所求圓的方程為(x+3)2+(y-3)2=16
(2)顯然，所求圓的圓心在op的垂直平分線上，op的垂直平分線方程為：
= 即x+y-1=0
解方程組 x+y-1=0
2x+3y+1=0 得圓心c的座標為(4，-3)。又圓的半徑r=|oc|=5
∴所求圓的方程為(x-4)2+(y+3)2=25
(3)設圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0將p、q點的座標分別代入①，得：
4d-2e+f=-20 ②
d-3e-f=10令x=0，由①得y2+ey+f=0 ④
由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的兩根。
∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=e2-4f=48 ⑤
②、③、⑤組成的方程組，得
d=-2 d= -10
e=0 或 e= -8
f= -12 f=4
故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0
[思維點拔]無論是圓的標準方程或是圓的一般方程，都有三個待定係數，因此求圓的方程，應有三個條件來求。一般地，已知圓心或半徑的條件，選用標準式，否則選用一般式。
例2、(優化設計p112例1)設為兩定點，動點p到a點的距離與到b點的距離的比為定值，求p點的軌跡。
解：設動點p的座標為（x，y）. 由.
化簡得當，整理得.
當a=1時，化簡得x=0.
所以當時，p點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；
當a=1時，p點的軌跡為y軸。
【評述】上述解法是直接由題中條件，建立方程關係,，然後化簡方程，這種求曲線方程的方法稱為直接法。
例3、(優化設計p112例2)一圓與y軸相切，圓心在直線上，且直線截圓所得的弦長為，求此圓的方程。
解：因圓與y軸相切，且圓心在直線上，故設圓方程為，由於直線截圓所得的弦長為，則有
解得，故所求圓方程為
或【評述】求圓的弦長方法
（1）幾何法：用弦心距，半徑及半弦構成直角三角形的三邊
（2）代數法：用弦長公式
例4、已知⊙o的半徑為3，直線與⊙o相切，一動圓與相切，並與⊙o相交的公共弦恰為⊙o的直徑，求動圓圓心的軌跡方程。
解：取過o點且與平行的直線為x軸，過o點且垂直於
的直線為y軸，建立直角座標系。
設動圓圓心為m（x,y），⊙o與⊙m的公共弦為
ab，⊙m與切於點c，則
ab為⊙o的直徑， mo垂直
平分ab於o。
由勾股定理得
即： 這就是動圓圓心的軌跡方程
【點評】建立適當的座標系能使求軌跡方程的過程較簡單、所求方程的形式較「整齊」
備用題：
例5、設定點m(-3，4)，動點n在圓x2+y2=4上運動，以om、on為兩邊作平行四邊形monp，求點p的軌跡。
解：本題關鍵是找出動點p與定點m及已知動點n之間的聯絡，用平行四邊形對角線互相平分這一定理即可。 設p(x，y)，n(x0，y0)，則線段op的中點座標為(，)，線段mn的中點座標為(，)。
因為平行四邊形對角線互相平分，故=， =
從而 x0=x+3
y0=y-4
n(x+3，y-4)在圓上，故(x+3)2+(y-4)2=4
因此所求軌跡為圓：(x+3)2+(y-4)2=4，但應除去兩點：(-，)和(-，)
[思維點拔]：求與圓有關的軌跡問題，充分利用圓的方程和圓的幾何性質，找出動點與圓上點之間的關係或動點所滿足的幾何條件。
例6、已知圓的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中a≠1，且a∈r。
(1)求證：a取不為1的實數時，上述圓恆過定點；
(2)求與圓相切的直線方程；
(3)求圓心的軌跡方程。
解：將方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0整理得x2+y2-4y+2-a（2x-2y）=0
令 x2+y2-4y+2=0
x-y=0
解之得 x=1
y=1∴定點為(1，1)
(2)易得已知圓的圓心座標為（a，2-a），半徑為|a-1|。
設所求切線方程為y=kx+b，即kx-y+b=0
則圓心到直線的距離應等於圓的半徑，即=|a-1|恆成立。
整理得2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恆成立。
比較係數可得
2(1+k2)=(k+1)2
-4(1+k2)=2(b-2)(k+1)
2(1+k2)=(b-2)2解之得k=1，b=0。所以，所求的切線方程是y=x。
(3)圓心座標為(a，a-2)，又設圓心座標為(x，y)，則有
x=ay=2-a
消去引數得x+y=2為所求的圓心的軌跡方程。
[思維點拔]：本題是含引數的圓的方程，與圓的引數方程有本質的區別。當引數取某一確定的值時，方程表示乙個確定的圓，當a變動時，方程表示圓的集合，即圓系。
解本題(1)可用分離係數法求解；(2)可用待定係數法求解；(3)可用配方法求解。
一般地，過兩圓c1：f(x，y)=0與c2：g(x，y)=0的交點的圓系方程為：f(x，y)+λg(x，y)=0(λ為引數)。
三、課堂小結
1、求圓的方程：主要用待定係數法，有兩種求數，一是利用圓的標準方程，求出圓心座標和半徑；二是利用圓的一般方程求出係數d、e、f的值。
2、已知圓經過兩已知圓的交點，求圓的方程，用經過兩圓交點的圓系方程簡捷。
3、解答圓的問題，應注意數形結合，充分運用圓的幾何性質，簡化運算。
4、與圓有關的軌跡問題，可根據題設條件選擇適當方法（如直接法、定義法、動點轉移法等），有時還需要結合運用其他方法，如交軌法、引數法等。
四、【布置作業】 優化設計p113
第5課時圓的方程
1 圓心為c a b 半徑為r的圓的標準方程為 2 圓的一般方程x2 y2 dx ey f 0 其中d2 e2 4f 0 圓心為半徑r 3 二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圓的方程的充要條件是 4 圓c x a 2 y b 2 r2的引數方程為x2 y2 r2的引數方程為 ...
圓的標準方程》第1課時教學設計
一.教材的地位與作用 圓的標準方程處於北師大版數學必修2中的第二章的第二部分第一節。圓的標準方程是在直線方程結束後，學習三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論為後繼學習作好準備，也就是說，本節內容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多實際問題中也有著廣泛的應用。二 學情分析 學生...
導學案圓第3課時
24 1 2 垂直於弦的直徑 第3課時 姓名班級 學習目標 1 熟練掌握垂徑定理,理解並區分垂徑定理的推論。2 能用垂徑定理及其推論進行有關的計算和證明 學習重點 垂徑定理及其推論 及其在實際問題中的應用 學習難點 分清垂徑定理及其推論的題設和結論 垂徑定理 學習方法 加強小組合作學習，加強學生互相...