數學思維訓練圓考點熱點全攻略
一、 考點、熱點回顧
考點：1、掌握圓的性質與定義、弦與直徑 2、掌握垂徑定理
3、掌握圓心角、圓心角定理、弦心距 4、圓周角及其定理
5、掌握三角形的外接圓及其性質
重點、難點：
1、掌握圓的性質與定義、弦與直徑 2、掌握垂徑定理
3、掌握圓心角、圓心角定理、弦心距 4、圓周角及其定理
5、掌握三角形的外接圓及其性質
二、重點講解
一.考點，難點，熱點；
1.圓。圓指的是「圓周」，是曲線，而不是圓面。
描述性定義：在乙個平面內，線段oa繞它固定端點o旋轉一周，另一端點a隨之旋轉所形成的圖形叫圓。線段oa叫做半徑，以o為圓心的圓記作⊙o，讀作「圓o」.
集合定義：圓是平面內到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形，其中定點為圓心，定長為半徑，到定點的距離等於定長的點的集合。
這句話可以理解為兩點：
①凡是到圓心o的距離等於半徑的點都在圓上。②凡是在圓上的點到圓心距離都等於定長半徑。
與圓有關的概念
2.弦與直徑
⑴弦是連線圓上任意兩點間的線段；直徑是過圓心的弦，由此可知直徑是弦，弦不一定是直徑。
⑵弧是指圓上任意兩點間的部分，用符號「⌒」。半圓是一種特殊的弧，但弧不一定是半圓，在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧是等弧。
3.垂徑定理
垂直於弦的直徑平分弦，並且平分弦所對的兩條弧
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。
4.圓心角：頂點在圓心上的角叫做圓心角
5.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等
6.弦心距：從圓心到弦的距離叫弦心距。弦心距是乙個數量不是乙個圖形。
7.圓周角：頂點在圓上，並且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。
定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對圓心角的一半。（一條弧所對的圓周角等於圓心角的一半）
推論：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。
（在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩個圓周角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對的應的其餘各組量也相等）與圓有關的位置關係
8.點和圓的位置關係
設⊙o的半徑r，點到圓心o的距離為d，則有：
點在圓外d＞r
點在圓上d＝r 讀作「等價於」意思就是從左推到右，從右推到左
點在圓內d＜r
9、三角形的外接圓
經過三角形的三個頂點可以做乙個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形，三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線交點。（銳角△的外心在三角形的內部，直角△的外心在斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部）
過乙個點可以做無數個圓；過兩個點可以做無數個圓;這些圓的圓心在兩點連線的垂直平分線上;過在同一直線上的三個點不能做圓;過不在同一直線上的三個點確定乙個圓。
三角形的外心到三個頂點的距離相等。
三角形經外接圓的作法：①確定圓心：三角形兩邊中垂線的交點即為圓心;②確定半徑：交點到三角形任意一頂點的距離即為外接圓的半徑。
直角三角形外接圓的半徑就是其斜邊的一半。
三、典型例題
例1．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弦（即圖中，點o是的圓心，其中cd=600m，e為上一點，且oe⊥cd，垂足為f，ef=90m，求這段彎路的半徑．
例2．有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬ab=60m，水面到拱頂距離cd=18m，當洪水氾濫時，當水面寬度到d點的距離小於8m時就需要採取緊急措施；如果水面寬mn=32m時是否需要採取緊急措施？請說明理由．
例3．如圖，在⊙o中，ab、cd是兩條弦，oe⊥ab，of⊥cd，垂足分別為ef．
（1）如果∠aob=∠cod，那麼oe與of的大小有什麼關係？為什麼？
（2）如果oe=of，那麼與的大小有什麼關係？ab與cd的大小有什麼關係？為什麼？∠aob與∠cod呢？
例4．如圖3和圖4，mn是⊙o的直徑，弦ab、cd相交於mn上的一點p，∠apm=∠cpm．（1）由以上條件，你認為ab和cd大小關係是什麼，請說明理由．
（2）若交點p在⊙o的外部，上述結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．
(3) (4)
例5．如圖，已知△abc內接於⊙o，∠a、∠b、∠c的對邊分別設為a，b，c，⊙o半徑為r，求證： ===2r．
分析：要證明===2r，只要證明=2r， =2r， =2r，即sina=，sinb=，sinc=，因此，十分明顯要在直角三角形中進行．
證明：連線co並延長交⊙o於d，連線db
∵cd是直徑 ∴∠dbc=90°
又∵∠a=∠d 在rt△dbc中，sind=，即2r=
同理可證： =2r， =2r ∴===2r
如圖所示，已知o是∠epf的平分線上的一點，以o為圓心的圓心角的兩邊分別交於點a、b、c、d求證：pb=pd，若角的頂點p在圓上或圓內，上述還成立嗎？請說明。
四、鞏固練習
1．如圖1，如果ab為⊙o的直徑，弦cd⊥ab，垂足為e，那麼下列結論中，錯誤的是（ ）．
a．ce=de b． c．∠bac=∠bad d．ac>ad
(1) (2) (3)
2．如圖2，⊙o的直徑為10，圓心o到弦ab的距離om的長為3，則弦ab的長是（ ）
a．4 b．6 c．7 d．8
3．如圖3在⊙o中，p是弦ab的中點，cd是過點p的直徑，則下列結論中不正確的是（ ）
a．ab⊥cd b．∠aob=4∠acd c． d．po=pd
4．如果兩個圓心角相等，那麼（ ）
a．這兩個圓心角所對的弦相等b．這兩個圓心角所對的弧相等
c．這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等; d．以上說法都不對
5．在同圓中，圓心角∠aob=2∠cod，則兩條弧ab與cd關係是（ ）
a． =2 b． > c． <2 d．不能確定
6．如圖5，⊙o中，如果=2，那麼（ ）．
a．ab=ac b．ab=ac c．ab<2ac d．ab>2ac
二、填空題
1．交通工具上的輪子都是做圓的，這是運用了圓的性質中的
2．一條弦長恰好為半徑長，則此弦所對的弧是半圓的
3．如圖6，ab和de是⊙o的直徑，弦ac∥de，若弦be=3，
則弦ce
三、解答題
1．如圖24-11，ab為⊙o的直徑，cd為弦，過c、d分別作cn⊥cd、dm⊥cd，分別交ab於n、m，請問圖中的an與bm是否相等，說明理由．
2．如圖，⊙o直徑ab和弦cd相交於點e，ae=2，eb=6，∠deb=30°，求弦cd長．
3．如圖，在⊙o中，c、d是直徑ab上兩點，且ac=bd，mc⊥ab，nd⊥ab，m、n在⊙o上．（1）求證： =；（2）若c、d分別為oa、ob中點，則成立嗎？
4．如圖，以abcd的頂點a為圓心，ab為半徑作圓，分別交bc、ad於e、f，若∠d=50°，求的度數和的度數．
5．如圖，∠aob=90°，c、d是ab三等分點，ab分別交oc、od於點e、f，
求證：ae=bf=cd．
如圖所示，圓o的直徑ab和弦cd交於e，已知ae=6cm，eb=2cm，∠cea=30°，求cd。
如圖所示，已知ab為圓o的直徑，ac為弦，od∥bc交ac於d，od=，求bc的長；
16. 如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦ab的垂直平分線交弧ab於點c，交弦ab於點d。已知：
ab，cd。（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求（1）中所作圓的半徑。
17. 已知：如圖所示，rt△abc的兩直角邊bc=3cm，ac=4cm，斜邊ab上的高為cd，若以c為圓心，分別以r1=2cm，r2=2.
4cm，r3=3cm，為半徑作圓，試判斷點d與這三個圓的位置關係。
1. 已知：ab交圓o於c、d，且ac＝bd.你認為oa＝ob嗎？為什麼？
2. 如圖所示，是乙個直徑為650mm的圓柱形輸油管的橫截面，若油麵寬ab=600mm，求油麵的最大深度。
3. 如圖所示，ab是圓o的直徑，以oa為直徑的圓c與圓o的弦ad相交於點e。你認為圖中有哪些相等的線段？為什麼？
五、反饋調查
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