反比例函式
一、反比例函式的概念
1．（）可以寫成（）的形式，注意自變數x的指數為，
在解決有關自變數指數問題時應特別注意係數這一限制條件；
2．（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函式解
析式中的k，從而得到反比例函式的解析式；
3．反比例函式的自變數，故函式圖象與x軸、y軸無交點．
二、反比例函式的圖象
在用描點法畫反比例函式的圖象時，應注意自變數x的取值不能為0，且x應對稱取點（關於原點對稱）。
三、反比例函式及其圖象的性質
（1）圖象的形狀：雙曲線．
越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直．
越小，圖象的彎曲度越大．
（2）圖象的位置和性質：
與座標軸沒有交點，稱兩條座標軸是雙曲線的漸近線．
當時，圖象的兩支分別位於
一、三象限；
在每個象限內，y隨x的增大而減小；
當時，圖象的兩支分別位於
二、四象限；
在每個象限內，y隨x的增大而增大．
（3）對稱性：圖象關於原點對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，
則（，）在雙曲線的另一支上．
圖象關於直線對稱，即若（a，b）在雙曲線的一支上，
則（，）和（，）在雙曲線的另一支上．
(4)k的幾何意義
設p為雙曲線上任意一點，過點p作x軸、y軸的垂線pm、pn，垂足分別為m、n，則兩垂線段與座標軸所圍成的的矩形pmon的面積為s=|pm|×|pn|=|y|×|x|=|xy|
∴xy=k
故s=|k|
從而得結論1：過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積s為定值|k|
對於下列三個圖形中的情形，利用三角形面積的計算方法和圖形的對稱性以及上述結論，可得出對應的面積的結論為：
結論2：在直角三角形abo中，面積s=
結論3：在直角三角形acb中，面積為s=2|k|
結論4：在三角形amb中，面積為s=|k|
（5）反比例函式與一次函式的關係
直線與雙曲線的關係：
當時，兩圖象沒有交點；
當時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點關於原點成中心對稱．
1．反比例函式的概念
（1）下列函式中，y是x的反比例函式的是（ ）．
a．y=3x b． c．3xy=1 d．
（2）下列函式中，y是x的反比例函式的是（ ）．
a． b． c． d．
2．圖象和性質
（1）已知函式是反比例函式，
①若它的圖象在第
二、四象限內，那麼k
②若y隨x的增大而減小，那麼k
（2）已知一次函式y=ax+b的圖象經過第
一、二、四象限，則函式的圖
象位於第________象限．
（3）若反比例函式經過點（，2），則一次函式的圖象一定不
經過第_____象限．
（4）已知a·b＜0，點p（a，b）在反比例函式的圖象上，
則直線不經過的象限是（ ）．
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
（5）若p（2，2）和q（m，）是反比例函式圖象上的兩點，
則一次函式y=kx+m的圖象經過（ ）．
a．第一、二、三象限 b．第
一、二、四象限
c．第一、三、四象限 d．第
二、三、四象限
（6）已知函式和（k≠0），它們在同一座標系內的圖象大致是（ ）．
a． b． c． d．
3．函式的增減性
（1）在反比例函式的圖象上有兩點，，且，則的值為（ ）．
a．正數 b．負數 c．非正數 d．非負數
（2）在函式（a為常數）的圖象上有三個點，，，則函式值、、的大小關係是（ ）．
a．＜＜ b．＜＜
c．＜＜ d．＜＜
（3）下列四個函式中：①；②；③；④．
y隨x的增大而減小的函式有（ ）．
a．0個 b．1個 c．2個 d．3個
（4）已知反比例函式的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過同一點，則當x＞0時，這個反比例函式的函式值y隨x的增大而______ （填「增大」或「減小」）．
4．解析式的確定
（1）若與成反比例，與成正比例，則y是z的（ ）．
a．正比例函式 b．反比例函式 c．一次函式 d．不能確定
（2）若正比例函式y=2x與反比例函式的圖象有乙個交點為 （2，m），則m=_____，k它們的另乙個交點為________．
（3）已知反比例函式的圖象經過點，反比例函式的圖象在第
二、四象限，求的值．
（4）已知一次函式y=x+m與反比例函式（）的圖象在第一象限內的交點為p （x0，3）．
①求x0的值；②求一次函式和反比例函式的解析式．
反比例函式與一次函式的綜合
例1 已知關於x的一次函式y＝mx＋3n和反比例函式
的圖象都經過點(1，－2)．求：
(1)一次函式和反比例函式的解析式；
(2)兩個函式圖象的另乙個交點的座標．
(1)k滿足什麼條件時，這兩個函式在同一座標系xoy中的圖象有兩個公共點？
(2)設(1)中的兩個公共點為a，b，試判斷∠aob是銳角還是鈍角？
解後反思
直線與雙曲線的綜合題的重要組成部分是兩種圖象的交點，這是惟一能溝通它們的要素，應用交點時應注意：
(1)交點既在直線上也在雙曲線上，交點座標既滿足直線的解析式也滿足雙曲線的解析式．
(2)要求交點座標時，應將兩種圖象對應的解析式組成方程組，通過解方程組求出交點座標．
(3)判斷兩種圖象有無交點時，可用判別式確定，也可以畫出草圖直觀地確定．
面積問題
1、如圖，一次函式y=x+1與反比例函式的圖象相交於點a（2，3）和點b．
（1）求反比例函式的解析式；
（2）求點b的座標；
（3）過點b作bc⊥x軸於c，求s△abc．
2、如圖，直線y=x與雙曲線y=相交於a、b兩點，bc⊥x軸於點c（﹣4，0）．
（1）求a、b兩點的座標及雙曲線的解析式；
（2）若經過點a的直線與x軸的正半軸交於點d，與y軸的正半軸交於點e，且△aoe的面積為10，求cd的長．
3、如圖，已知函式的圖象與一次函式y=kx+b的圖象交於點a（1，m），b（n，2）兩點．
（1）求一次函式的解析式；
（2）將一次函式y=kx+b的圖象沿x軸負方向平移a（a＞0）個單位長度得到新圖象，求這個新圖象與函式的圖象只有乙個交點m時a的值及交點m的座標．
4、如圖，反比例函式y=的圖象與一次函式y=mx+b的圖象交於兩點a（1，3），b（n，﹣1）．
（1）求反比例函式與一次函式的函式關係式；
（2）根據圖象，直接回答：當x取何值時，一次函式的值大於反比例函式的值；
（3）連線ao、bo，求△abo的面積；
（4）在反比例函式的圖象上找點p，使得點a，o，p構成等腰三角形，直接寫出兩個滿足條件的點p的座標．
1、已知：如圖，矩形abcd的邊bc在x軸上，e是對角線ac、bd的交點，反比例函式y=（x＞0）的圖象經過a，e兩點，點e的縱座標為m．
（1）求點a座標（用m表示）
（2）是否存在實數m，使四邊形abcd為正方形，若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由
2、如圖1，矩形abcd的邊bc在x軸的正半軸上，點e（m，1）是對角線bd的中點，點a、e在反比例函式y=的圖象上．
（1）求ab的長；
（2）當矩形abcd是正方形時，將反比例函式y=的圖象沿y軸翻摺，得到反比例函式y=的圖象（如圖2），求k1的值；
（3）直線y=-x上有一長為動線段mn，作mh、np都平行y軸交在條件（2）下，第一象限內的雙曲線y=於點h、p，問四邊形mhpn能否為平行四邊形（如圖3）？若能，請求出點m的座標；若不能，請說明理由．
3、在平面直角座標系中，已知a(1,0),b(0,1)，矩形ompn的相鄰兩邊om，on分別在x，y軸的正半軸上，o為原點，線段ab與矩形ompn的兩邊mp,np的交點分別為e,f,△aof∽△boe（頂點依次對應）
（1）求∠foe；
（2）求證：矩形opmn的頂點p必在某個反比例函式影象上，並寫出該函式的解析式。
4、已知：如右圖，已知反比例函式y=和一次函式y=2x-1，其中一次函式的影象經過（a，b），（a+1，b+k）.
（1）求反比例函式的解析式；
（2）如圖，已知點a在第一象限，且同時在上述兩個函式的圖象上，求點a的座標；
（3）利用（2）的結果，請問：在x軸上是否存在點p，使△aop為等腰三角形？若存在，把符合條件的p點座標都求出來；若不存在，請說明理由．
5、已知反比例函式y=和一次函式y=2x-1，其中一次函式的圖象經過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點．
（1）求反比例函式的解析式；
（2）求反比例函式與一次函式兩個交點a、b的座標：
（3）根據函式圖象，求不等式＞2x-1的解集；
（4）在（2）的條件下，x軸上是否存在點p，使△aop為等腰三角形？若存在，把符合條件的p點座標都求出來；若不存在，請說明理由。
6、如圖，一次函式的圖象與反比例函式的圖象交於第一象限c、d兩點，座標軸交於a、b兩點，鏈結oc，od（o是座標原點）．
① 利用圖中條件，求反比例函式的解析式和m的值；
② 雙曲線上是否存在一點p，使得△poc和△pod的面積相等？若存在，給出證明並求出點p的座標；若不存在，說明理由．
（5）不解方程，判斷下列方程解的個數．
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