二元一次方程組應用探索
二元一次方程組是最簡單的方程組，其應用廣泛，尤其是生活、生產實踐中的許多問題，大多需要通過設元、布列二元一次方程組來加以解決，現將常見的幾種題型歸納如下：
一、數字問題
例1 乙個兩位數，比它十位上的數與個位上的數的和大9；如果交換十位上的數與個位上的數，所得兩位數比原兩位數大27，求這個兩位數．
分析：設這個兩位數十位上的數為x，個位上的數為y，則這個兩位數及新兩位數及其之間的關係可用下表表示：
解方程組，得，因此，所求的兩位數是14．
點評：由於受一元一次方程先入為主的影響，不少同學習慣於只設一元，然後列一元一次方程求解，雖然這種方法十有**可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設這個兩位數為x，或只設十位上的數為x，那將很難或根本就想象不出關於x的方程．一般地，與數字上的數字有關的求數問題，一般應設各個數字上的數為「元」，然後列多元方程組解之．
二、利潤問題
例2一件商品如果按定價打九折**可以盈利20%；如果打八折**可以盈利10元，問此商品的定價是多少？
分析：商品的利潤涉及到進價、定價和賣出價，因此，設此商品的定價為x元，進價為y元，則打九折時的賣出價為0.9x元，獲利(0.
9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時的賣出價為0.8x元，獲利(0.
8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.
解方程組，解得，
因此，此商品定價為200元．
點評：商品銷售盈利百分數是相對於進價而言的，不要誤為是相對於定價或賣出價．利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤=賣出價-進價；二是：
利潤=進價×利潤率（盈利百分數）．特別注意「利潤」和「利潤率」是不同的兩個概念．
三、配套問題
例3 某廠共有120名生產工人，每個工人每天可生產螺栓25個或螺母20個，如果乙個螺栓與兩個螺母配成一套，那麼每天安排多名工人生產螺栓，多少名工人生產螺母，才能使每天生產出來的產品配成最多套？
分析：要使生產出來的產品配成最多套，只須生產出來的螺栓和螺母全部配上套，根據題意，每天生產的螺栓與螺母應滿足關係式：每天生產的螺栓數×2=每天生產的螺母數×1．因此，設安排ｘ人生產螺栓，ｙ人生產螺母，則每天可生產螺栓25ｘ個，螺母20ｙ個，依題意，得
，解之，得．
故應安排20人生產螺栓，100人生產螺母．
點評：產品配套是工廠生產中基本原則之一，如何分配生產力，使生產出來的產品恰好配套成為主管生產人員常見的問題，解決配套問題的關鍵是利用配套本身所存在的相等關係，其中兩種最常見的配套問題的等量關係是：
（1）「二合一」問題：如果ａ件甲產品和ｂ件乙產品配成一套，那麼甲產品數的ｂ倍等於乙產品數的ａ倍，即；
（2）「三合一」問題：如果甲產品ａ件，乙產品ｂ件，丙產品ｃ件配成一套，那麼各種產品數應滿足的相等關係式是：．
四、行程問題
例4 在某條高速公路上依次排列著a、b、c三個加油站，a到b的距離為120千公尺，b到c的距離也是120千公尺．分別在a、c兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團夥作案後同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現場，正在b站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令後立即以相同的速度分別往a、c兩個加油站駛去，結果往b站駛來的團夥在1小時後就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團夥經過3小時後才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團夥的車的速度各是多少？
【研析】設巡邏車、犯罪團夥的車的速度分別為x、y千公尺/時，則
，整理，得，解得，
因此，巡邏車的速度是80千公尺/時，犯罪團夥的車的速度是40千公尺/時．
點評：「相向而遇」和「同向追及」是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著乙個相等關係，這個關係涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現在：
「相向而遇」時，兩者所走的路程之和等於它們原來的距離；
「同向追及」時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等於它們原來的距離．
五、貨運問題
典例5 某船的載重量為300噸，容積為1200立方公尺，現有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方公尺，乙種貨物每噸的體積為2立方公尺，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應各裝多少噸？
分析：「充分利用這艘船的載重和容積」的意思是「貨物的總重量等於船的載重量」且「貨物的體積等於船的容積」．設甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則
，整理，得，解得，
因此，甲、乙兩重貨物應各裝150噸．
點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再考慮消元和解法，這樣可以減少計算量，增加準確度．化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項係數的最大公約數或移項、合併同類項等．
六、工程問題
例6 某服裝廠接到生產一種工作服的訂貨任務，要求在規定期限內完成，按照這個服裝廠原來的生產能力，每天可生產這種服裝150套，按這樣的生產進度在客戶要求的期限內只能完成訂貨的；現在工廠改進了人員組織結構和生產流程，每天可生產這種工作服200套，這樣不僅比規定時間少用1天，而且比訂貨量多生產25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？
分析：設訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得
，解得.
點評：工程問題與行程問題相類似，關鍵要抓好三個基本量的關係，即「工作量=工作時間×工作效率」以及它們的變式「工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間」．其次注意當題目與工作量大小、多少無關時，通常用「1」表示總工作量．
《二元一次方程組實際問題》賞析
【知識鏈結】
列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為「審、找、列、解、答」五步，即：
（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數學問題，分析已知數和未知數，並用字母表示其中的兩個未知數；
（2）找：找出能夠表示題意兩個相等關係；
（3）列：根據這兩個相等關係列出必需的代數式，從而列出方程組；
（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數的值；
（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案.
【典題精析】
例1（2023年南京市）某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為6元/輛，小型汽車的停車費為4元/輛.現在停車場有50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費230元，問中、小型汽車各有多少輛？
解析：設中型汽車有x輛，小型汽車有y輛.由題意，得
解得，故中型汽車有15輛，小型汽車有35輛.
例2（2023年四川省眉山市）某蔬菜公司收購蔬菜進行銷售的獲利情況如下表所示：
現在該公司收購了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸（兩種加工不能同時進行）．
（1）如果要求在18天內全部銷售完這140噸蔬菜，請完成下列**：
（2）如果先進行精加工，然後進行粗加工，要求在15天內剛好加工完140噸蔬菜，則應如何分配加工時間？
解：（1）全部直接銷售獲利為：100×140=14000（元）；
全部粗加工後銷售獲利為：250×140=35000（元）；
盡量精加工，剩餘部分直接銷售獲利為：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.
（2）設應安排x天進行精加工， y天進行粗加工.
由題意，得
解得，故應安排10天進行精加工，5天進行粗加工.
【跟蹤練習】
為滿足市民對優質教育的需求，某中學決定改變辦學條件，計畫拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方公尺需80元，建新校舍每平方公尺需700元. 計畫在年內拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方公尺，在實施中為擴大綠地面積，新建校舍只完成了計畫的80%，而拆除舊校舍則超過了計畫的10%，結果恰好完成了原計畫的拆、建總面積.
（1）求：原計畫拆、建面積各是多少平方公尺？
（2）若綠化1平方公尺需200元，那麼在實際完成的拆、建工程中節餘的資金用來綠化大約是多少平方公尺？
答案：（1）原計畫拆、建面積各是4800平方公尺、2400平方公尺；
（2）可綠化面積為1488平方公尺.
二元一次方程組練習題
一、選擇題：
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
a．3x－2y=4z b．6xy+9=0 c． +4y=6 d．4x=
2．下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
a．3．二元一次方程5a－11b=21 （ ）
a．有且只有一解 b．有無數解 c．無解 d．有且只有兩解
4．方程y=1－x與3x+2y=5的公共解是（ ）
a．5．若│x－2│+（3y+2）2=0，則的值是（ ）
a．－1 b．－2 c．－3 d．
6．方程組的解與x與y的值相等，則k等於（ ）
7．下列各式，屬於二元一次方程的個數有（ ）
①xy+2x－y=7； ②4x+1=x－y； ③+y=5； ④x=y； ⑤x2－y2=2
⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
a．1 b．2 c．3 d．4
8．某年級學生共有246人，其中男生人數y比女生人數x的2倍少2人，則下面所列的方程組中符合題意的有（ ）
a．二、填空題
9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代數式表示y為：y=_______；用含y的代數式表示x為：x
10．在二元一次方程－x+3y=2中，當x=4時，y=_______；當y=－1時，x=______．
11．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，則m=_____，n=______．
12．已知是方程x－ky=1的解，那麼k=_______．
13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，則k=_____．
14．二元一次方程x+y=5的正整數解有
15．以為解的乙個二元一次方程是
16．已知的解，則m=_______，n=______．
三、解答題
17．當y=－3時，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（關於x，y的方程）有相同的解，求a的值．
二元一次方程組應用題
8.3實際問題與二元一次方程組 知識梳理 1 列二元一次方程組解應用題的一般步驟 審題，分析題中已知什麼，求什麼，理順各數量之間的關係 設合適的未知數 列方程組，根據題中兩個相等關係列出方程組 解方程組 檢驗方程組的解，並且具有實際意義 答，根據題意寫出答案。鞏固提公升 1 班上有男女同學32人，女...
二元一次方程組應用題
第一類 產品配套問題。例1.某車間有24名工人生產螺栓與螺母，每人每天平均能生產螺栓120個或螺母80個.乙個螺栓配兩個螺母，車間排程室分配多少工人生產螺栓螺母恰好使生產的螺栓和螺母配套？例2.某木工廠有28名工人，2個工人一天加工3張桌子，3個工人一天可加工10只椅子.現在如何安排勞動力使生產的一...
二元一次方程組應用題
再探實際問題與二元一次方程組應用題練習 一 填空題 1 班上有男女同學32人，女生人數的一半比男生總數少10人，若設男生人數為x人，女生人數為y人，則可列方程組為 2 甲乙兩數的和為10，其差為2，若設甲數為x，乙數為y，則可列方程組為 3 已知方程y kx b的兩組解是則k b 4某工廠現在年產值...