課題：開放型問題與存在型問題
一、開放型問題
1、主要有下列兩種描述：（1）答案不固定或條件不完備的習題.（2）具有多種不同的解法或有多種可能的解答問題.
2、特點是：（1）條件多餘需選擇，條件不足需補充.（2）答案不固定.
（3）問題一般沒有明確的結論，沒有固定的形式和方法，需要自己通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等探索活動來確定所需求的結論或條件或方法.
3、型別：（1）條件開放型；（2）結論開放型；（3）策略開放型；（4）綜合開放型
(一)條件開放題
條件開放題是指結論給定，條件未知或不全，需探求與結論相對應的條件．解這種開放問題的一般思路是：由已知的結論反思題目應具備怎樣的條件，即從題目的結論出發，逆向追索，逐步探求.
例1 已知反比例函式，其圖象在第
一、三象限內，則k值可為 ．（寫出滿足條件的乙個k的值即可）
（二）結論開放題
給出問題的條件，讓解題者根據條件探索相應的結論並且符合條件的結論往往呈現多樣性，這些問題都是結論開放問題．這類問題的解題思路是：充分利用已知條件或圖形特徵，進行猜想、模擬、聯想、歸納，透徹分析出給定條件下可能存在的結論，然後經過論證作出取捨．
例2 如圖,ab是⊙o的直徑, ⊙o交bc於d,過d作⊙o的切線de交ac於e,且de⊥ac,由上述條件,你能推出的正確結論有
例3 一條拋物線的對稱軸是x=1逐步形成與x軸有唯一的公共點，並且開口向下，則這條拋物線的解析式是 ．（任寫乙個）
（三）條件、結論開放題
綜合開放型試題的的條件和結論都不確定，需要考生認定條件和結論，然後組成乙個新命題，並加以證明或判斷．這種新穎的組合型開放題，已使幾何由論證轉向發現、猜想與**，成為中考命題的熱點．
例4 如圖①， 四邊形abcd中，點e在邊cd上，鏈結ae、be，給出下列五個等式：①ad∥bc；②de=ce；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤ad+bc=ab．將其中三個關係式作為題設，另外兩個作為結論，構成乙個命題．
（1）用序號寫出乙個真命題（書寫形式如：如果……， 那麼……），並給出證明；
（2）用序號再寫出三個真命題（不要求證明）；
（3）加分題：其命題不止以上四個，想一想，就能夠多寫出幾個真命題，每多寫乙個真命題就給多加1分，最多2 分．
例5、如圖，已知兩條拋物線的解析式分別是， （其中a是常數，且a>0）
（1）請寫出三條與上述拋物線有關的不同型別的結論；
（2）當時,設與軸分別交於兩點（點在點的左邊），與軸分別交於兩點（點在點的左邊），觀察四點的座標，請寫出乙個你所得到的正確結論，並說明理由；
二、存在性問題
所謂存在性問題是指根據題目所給的條件，**是否存在符合要求的結論．
（一）存在性問題的解決策略
1、直接求解法
存在性問題是探索型問題中的一種典型性問題．存在性問題探索的方向是明確的．探索的結果有兩種：一種是存在：另一種是不存在．直接求解法就是直接從已知條件入手，逐步試探，求出滿足條件的物件，使問題得到解決的解法.
2、假設求解法
先假設結論存在，再從已知條件和定義，定理，公理出發，進行演繹推理；若得到和題意相容的結論，則假設成立，結論也存在；否則，假設不成立，結論不存在.即假設結論存在，根據條件推理、計算，如果求得出乙個結果，並根據推理或計算過程每一步的可逆性，證得結論存在；如果推得矛盾的結論或求不出結果，則說明結論不存在．
（二）中考數學中的存在性問題的型別
1、定性分類
（1）肯定型存在性問題
肯定型存在性問題是解決其餘兩類存在性問題的基礎，具體地構造出（或求出，尋找出）滿足條件的數學物件，是證明肯定型存在性問題的主要方法.這種處理方法一般分為兩大步，第一步是構造出滿足要求的數學物件；第二步是通過驗證，證明構造的物件滿足問題的要求.
例1、（2011浙江台州）已知拋物線與y軸交於點a，它的頂點為b，點a、b關於原點o的對稱點分別是點c、d.若點a、b、c、d中任何三點都不在一直線上，則稱四邊形abcd為拋物線的伴隨四邊形，直線ab為拋物線的伴隨直線.
（1）如圖1，求拋物線的伴隨直線的解析式；
（2）如圖2，若（m>0）的伴隨直線是y=x－3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式；
（3）如圖3，若拋物線的伴隨直線是y=－2x+b（b>0），且伴隨四邊形abcd是矩形.
① 用含b的代數式表示m,n的值；
② 在拋物線的對稱軸上是否存在點p，使得△pbd是乙個等腰三角形？若存在，請直接寫出點p的座標（用含b的代數式）；若不存在，請說明理由.
（2）否定型存在性問題
反證法是證明否定型存在性問題的主要方法，特別是在無限個候選物件中，證明某種數學物件不存在時，逐一淘汰的方法幾乎不能實行，更經常地使用反證法.
例2、(2023年安徽卷)如圖，已知，相似比為k（k>1），且的三邊長分別為a、b、c（a>b>c），的三邊長分別為、、.
（1）若c=a1，求證：a=kc；
（2）若c=a1，試給出符合條件的一對，使得a、b、c和、、都是正整數，並加以說明；
（3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？請說明理由.
（3）討論型存在性問題
將問題看成求解題，進而從有解或無解的條件，來判明數學物件是否存在，這是解決討論型存在性問題的主要方法.另外，先猜出物件可能存在或不存在，從而將討論型存在性問題轉化為肯定型或否定型處理，是解決討論型存在性問題的又一重要方法.
例3、（2011四川重慶，26，12分）如圖，矩形abcd中，ab＝6，bc＝2，點o是ab的中點，點p在ab的延長線上，且bp＝3．一動點e從o點出發，以每秒1個單位長度的速度沿oa勻速動動，到達a點後，立即以原速度沿ao返回；另一動點f從p點出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線pa勻速動動，點e、f同時出發，當兩點相遇時停止運動．在點e、f的運動過程中，以ef為邊作等邊△efg，使△efg和矩形abcd在射線pa的同側，設動動的時間為t秒(t≥0)．
(1)當等邊△efg的邊fg恰好經過點c時，求運動時間t的值；
(2)在整個運動過程中，設等邊△efg和矩形abcd重疊部分的面積為s，請直接寫出s與t之間的函式關係式和相應的自變數t的取值範圍；
(3)設eg與矩形abcd的對角線ac的交點為h，是否存在這樣的t，使△aoh是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．
2、定量分類
可細分為以下問題及型別：（1）數值存在性問題，（2）定值存在性問題，（3）極值存在性問題，（4）點存在性問題，（5）直線存在性問題，（6）三角形存在性問題，（7）平行四邊形存在性問題，（8）圓存在性問題，（9）時間存在性問題，（10）位置存在性問題，（11）變化存在性問題等.
說明：以上問題作為作業題安排在後面作為資料，根據各校學情供老師們選用.
三、作業
1、（數值存在性問題）（2011山東濟寧）如圖，第一象限內半徑為2的⊙c與y軸相切於點a，作直徑ad，過點d作⊙c的切線l交x軸於點b，p為直線l上一動點，已知直線pa的解析式為：．
(1)設點p的縱座標為p，寫出p隨k變化的函式關係式；
（2）設⊙c與pa交於點m，與ab交於點n，則不論動點p處於直線l上（除點b以外）的什麼位置時，都有△amn∽△abp，請你對於點p處於圖中位置時的兩個三角形相似給予證明；
（3）是否存在使△amn的面積等於的k倍？若存在，請求出符合條件的k值；若不存在，請說明理由．
2、（2023年咸寧卷）（定值存在性問題）
如圖，直角梯形abcd中，ab∥dc，，，．動點m以每秒1個單位長的速度，從點a沿線段ab向點b運動；同時點p以相同的速度，從點c沿折線c-d-a向點a運動．當點m到達點b時，兩點同時停止運動．過點m作直線l∥ad，與線段cd的交點為e，與折線a-c-b的交點為q．點m運動的時間為t（秒）．
（1）當時，求線段的長；
（2）當0＜t＜2時，如果以c、p、q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值；
（3）當t＞2時，連線pq交線段ac於點r．請**是否為定值，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．
3、（2023年莆田卷）（極值存在性問題）如圖，矩形abcd (點a在第一象限)與x軸的正半軸相交於m,，與y的負半軸相交於n，ab∥x軸，反比例函式的圖象過a、c兩點，直線ac與x軸相交於點e、與y軸相交於點f.
(1)若b（-3，3），直線ac的解析式為.
①求a的值；
②鏈結oa、oc，若△oac的面積記為，△abc的面積記為，記s=－，問s是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由
(2)ae與cf是否相等？請證明你的結論.
4、（點存在性問題）（2011四川成都）如圖，在平面直角座標系中，△abc的a、b兩個頂點在x軸上，頂點c在y軸的負半軸上．已知，，△abc的面積，拋物線經過a、b、c三點．
(1)求此拋物線的函式表示式；
(2)設e是y軸右側拋物線上異於點b的乙個動點，過點e作x軸的平行線交拋物線於另一點f，過點f作fg垂直於x軸於點g，再過點e作eh垂直於x軸於點h，得到矩形efgh．則在點e的運動過程中，當矩形efgh為正方形時，求出該正方形的邊長；
(3)在拋物線上是否存在異於b、c的點m，使△mbc中bc邊上的高為？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
5、（2023年紅河卷）（三角形存在性問題）如圖9，在直角座標系中，是座標原點，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，動點從點開始沿以的速度向點移動，動點從點開始沿以的速度向點移動，動點從點開始沿以速度向點移動.如果分別從同時移動，移動時間為
（1）求的度數.
（2）以為直徑的與交於點當為何值時，與相切？
（3）寫出的面積隨動點移動時間的函式關係式，並求的最小值及相應的值.
（4）是否存在為等腰三角形？若存在，請求出相應的值，若不存在，請說明理由.
6、（2012·湖北省恩施市）（平行四邊形存在性問題）如圖，已知拋物線y＝-x2＋bx＋ｃ與一直線相交於a（-1,0），c（2,3）兩點，與y軸交與點n。其頂點為d。
第7講開放性問題
概述 這類題在命題條件不變的情況下，命題結論不唯一，或在命題結論不變的條件下，條件不唯一，解答這類題要求較高，要求對所學基礎知識全面掌握 典型例題精析 例1 如圖，d為 abc邊ab上一點，滿足 條件時，adc acb 分析 要求對相似三角形的判定定理全面掌握 1 acd b，2 adc acb，3...
中考數學中的開放性問題
江蘇省泰州市九龍實驗學校顧廣林 此文在國家級核心期刊 中學數學教學參考 2007.4上發表 新課程標準把逐步形成數學創新意識列為教學目標,各地中考數學命題為了實現這個目標都做了有益的嘗試,並在不同程度上給予體現,主要表現在湧現出不少別具創意 獨特新穎的探索規律 條件 結論的開放性問題。這類試題不僅考...
瑪氏面試培訓題目 開放性問題
瑪氏官方發布的開放性問題命題 原題 瑪氏3人團隊開放 open 問題 請在你們團隊中拿出乙個最理想的畢業生培訓專案。要求不可以抄襲其他公司 包括瑪氏 的設計方案，而是你本人和團隊成員討論得到的想法。設計時，可以包括以下幾個方面 專案的目的是什麼？專案的目標學員是什麼樣的群體？專案應有的機制？經過專案...