全國卷幾何選講題（每小題10分）
1.如圖，已知圓上的弧＝，過c點作圓的切線與ba的延長線交於e點，證明：
(1)∠ace＝∠bcd； (2)bc2＝be×cd.
2.如圖，d，e分別為△abc邊ab，ac的中點，直線de交△abc的外接圓於f，g兩點，若cf//ab，證明：
(ⅰ)cd=bc；
(ⅱ)△bcd∽△gbd
3.如圖，d，e分別為的邊ab，ac上的點，且不與的頂點重合．已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程的兩個根．
（i）證明：c，b，d，e四點共圓；
（ii）若，且求c，b，d，e所在圓的半徑．
4.如圖，過圓e外一點a作一條直線與圓e交b,c兩點，且ab=ac,作直線af與圓e相切於點f，
連線ef交bc於點d,己知圓e的半徑為2， =300.
(1)求af的長.
⑵求證：ad=3ed.
5.如圖，cd為△abc外接圓的切線，ab的延長線交直線cd於點d，e，f分別為弦ab與弦ac上的點，
且bc·ae＝dc·af，b，e，f，c四點共圓．
(1)證明：ca是△abc外接圓的直徑；
(2)若db＝be＝ea，求過b，e，f，c四點的圓的面積與△abc外接圓面積的比值．
6.如圖，p是⊙o外一點，pa是切線，a為切點，割線pbc與⊙o相交於b，c，
pc＝2pa，d為pc的中點，ad的延長線交⊙o於點e．證明：
（ⅰ）be＝ec；
（ⅱ）ad·de＝2pb2．
7.如圖，四邊形abcd是⊙o的內接四邊形，ab的延長線與dc的延長線交於點e，且cb=ce
(ⅰ)證明：∠d=∠e；
（ⅱ）設ad不是⊙o的直徑，ad的中點為m，且mb=mc，證明：△ade為等邊三角形.
8.如圖，直線ab為圓的切線，切點為b，點c在圓上，∠abc的角平分線be交圓於點e，db垂直be交圓於點d.
(1)證明：db＝dc；
(2)設圓的半徑為1，bc＝，延長ce交ab於點f，求△bcf外接圓的半徑．
全國卷幾何選講題（每小題10分）
1.如圖，已知圓上的弧＝，過c點作圓的切線與ba的延長線交於e點，證明：
(1)∠ace＝∠bcd； (2)bc2＝be×cd.
解: （ⅰ）因為＝,所以.
又因為與圓相切於點，故,所以
（ⅱ）因為, ,
所以,故.即
2.如圖，d，e分別為△abc邊ab，ac的中點，直線de交△abc的外接圓於f，g兩點，若cf//ab，證明：
(ⅰ)cd=bc；
(ⅱ)△bcd∽△gbd
解：(ⅰ) 連af，∵ cf//ab，∴bc=af，（平行弦所夾的弦相等），又∵e是ac的中點，
∴易證△ade≌△cfe，∴de=ef，∴四邊形ａｄｃｆ為平行四邊形，∴cd=af，∴cd=bc，
(ⅱ) ∵d，e分別為△abc邊ab，ac的中點，∴gf//bc，∴gb=cf=ad=db,且∠cbd=∠gdb，
即∠cbd=∠gdb=∠cdb=∠bgd，∴△bcd∽△gbd
3.如圖，d，e分別為的邊ab，ac上的點，且不與的頂點重合．已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程的兩個根．
（i）證明：c，b，d，e四點共圓；
（ii）若，且求c，b，d，e所在圓的半徑．
（i）連線de，根據題意在△ade和△acb中，
ad×ab=mn=ae×ac
即.又∠dae=∠cab，從而△ade∽△acb
因此∠ade=∠acb
所以c，b，d，e四點共圓。
（ⅱ）m=4， n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2，x2=12. 故 ad=2，ab=12.
取ce的中點g，db的中點f，分別過g，f作ac，ab的垂線，兩垂線相交於h點，連線dh.因為c，b，d，e四點共圓，所以c，b，d，e四點所在圓的圓心為h，半徑為dh.
由於∠a=900，故gh∥ab， hf∥ac. hf=ag=5，df= (12-2)=5.
故c，b，d，e四點所在圓的半徑為5
4.如圖，過圓e外一點a作一條直線與圓e交b,c兩點，且ab=ac,作直線af與圓e相切於點f，連線ef交bc於點d,己知圓e的半徑為2， =300.
(1)求af的長.
⑵求證：ad=3ed.
解:(1) 延長交圓於點，鏈結，則，
又，，所以，
又，可知.
所以根據切割線定理，即5分)
(2) 過作於，則與相似，
從而有，因此10分)
5.如圖，cd為△abc外接圓的切線，ab的延長線交直線cd於點d，e，f分別為弦ab與弦ac上的點，
且bc·ae＝dc·af，b，e，f，c四點共圓．
(1)證明：ca是△abc外接圓的直徑；
(2)若db＝be＝ea，求過b，e，f，c四點的圓的面積與△abc外接圓面積的比值．
解：(1)因為cd為△abc外接圓的切線，
所以∠dcb＝∠a，由題設知，
故△cdb∽△aef，所以∠dbc＝∠efa.
因為b，e，f，c四點共圓，
所以∠cfe＝∠dbc，
故∠efa＝∠cfe＝90°.
所以∠cba＝90°，因此ca是△abc外接圓的直徑．
(2)鏈結ce，因為∠cbe＝90°，所以過b，e，f，c四點的圓的直徑為ce，由db＝be，有ce＝dc，又bc2＝db·ba＝2db2，所以ca2＝4db2＋bc2＝6db2.
而dc2＝db·da＝3db2，故過b，e，f，c四點的圓的面積與△abc外接圓面積的比值為.
6.如圖，p是⊙o外一點，pa是切線，a為切點，割線pbc與⊙o相交於b，c，
pc＝2pa，d為pc的中點，ad的延長線交⊙o於點e．證明：
（ⅰ）be＝ec；
（ⅱ）ad·de＝2pb2．
（2）7.如圖，四邊形abcd是⊙o的內接四邊形，ab的延長線與dc的延長線交於點e，且cb=ce
(ⅰ)證明：∠d=∠e；
（ⅱ）設ad不是⊙o的直徑，ad的中點為m，且mb=mc，證明：△ade為等邊三角形.
(ⅰ) 由題設知得a、b、c、d四點共圓，所以d=cbe，由已知得， cbe=e ,
所以d=e5分
（ⅱ）設bcn中點為，連線mn,則由mb=mc ,知mn⊥bc 所以o在mn上，又ad不是o的直徑，m為ad中點，故om⊥ad， 即mn⊥ad，所以ad//bc,故a=cbe， 又cbe=e，故a=e 由(ⅰ)（1）知d=e， 所以△ade為等邊三角形10分
8.如圖，直線ab為圓的切線，切點為b，點c在圓上，∠abc的角平分線be交圓於點e，db垂直be交圓於點d.
(1)證明：db＝dc；
(2)設圓的半徑為1，bc＝，延長ce交ab於點f，求△bcf外接圓的半徑．
(1)證明：鏈結de，交bc於點g.
由弦切角定理得，∠abe＝∠bce.
而∠abe＝∠cbe，故∠cbe＝∠bce，be＝ce.
又因為db⊥be，
所以de為直徑，∠dce＝90°，
由勾股定理可得db＝dc.
(2)解：由(1)知，∠cde＝∠bde，db＝dc，
故dg是bc的中垂線，所以bg＝.
設de的中點為o，鏈結bo，則∠bog＝60°.
從而∠abe＝∠bce＝∠cbe＝30°，
所以cf⊥bf，故rt△bcf外接圓的半徑等於.
幾何證明選講 全國卷文科
幾何證明選講 2011 2015全國卷文科 一 新課標卷 1.2011.全國新課標22 本小題滿分10分 選修4 1 幾何證明選講 如圖，d，e分別為的邊ab，ac上的點，且不與的頂點重合 已知ae的長為m，ac的長為n，ad，ab的長是關於x的方程的兩個根 i 證明 c，b，d，e四點共圓 ii ...
13 年新課標全國卷理 幾何證明題選講
2007 2015年全國課標卷幾何證明選講題 2007年寧夏卷 本小題滿分10分 選修4 1 幾何證明選講 如圖，已知是的切線，為切點，是的割線，與交於兩點，圓心在的內部，點是的中點 證明四點共圓 求的大小 2008年寧夏卷 22 本小題滿分10分 選修4 1 幾何證明選講 如圖，過圓o外一點m作它...
新課標全國卷幾何證明
22 2007海南 寧夏卷，22 本小題滿分10分 選修4 1 幾何證明選講 如圖，已知ap是 o的切線，p為切點，ac是 o的割線，與 o交於b c兩點，圓心o在的內部，點m是bc的中點.證明a，p，o，m四點共圓 求 oam apm的大小.22 2008海南 寧夏卷，22 本小題滿分10分 選修...