一元一次不等式
【教學內容】
認識不等式
解一元一次不等式
【教學目的】
1、複習等式，引出不等式的概念，複習方程的解，引出不等式的解與解集的概念。
2、會檢驗乙個數是否是某個不等式的解
3、使學生會列不等式
4、使學生掌握在數軸上表示不等式的解集
5、掌握不等式的三條性質，並且利用性質，掌握一元一次不等式的解法。
6、會將一些實際問題轉化為不等式來解決。
【知識重點與難點】
不等式中的難點是不等式兩邊同乘以（或除以）同乙個負數，不等號的方向改變。
知識重點有下面3個：
1、不等式：用不等號表示不等關係的式子。
不等式的解：能使不等式成立的未知數的值。
不等式的解集：乙個不等式所有解的集合。
解不等式：求不等式的解集的過程。
2、不等式的性質：
①不等式的兩邊都加上(或減去）同乙個數或同乙個整式，不等號的方向不變。
用數學符號語言表示為：如果，那麼
②不等式的兩邊都乘以(或除以)同乙個正數，不等號的方向不變。
用數學符號語言表示為：如果，並且，那麼
③不等式的兩邊都乘以(或除以)同乙個負數，不等號的方向改變。
用數學符號語言表示為：如果，並且，那麼
3、一元一次不等式：不等式中只含有乙個未知數，並且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是1
【方法指導和教材延伸】
1、不等式的解與解不等式不是同一回事，能使不等式成立的未知數的值是不等式的解（即不等式的解是數值），而求不等式的解的過程叫做解不等式（即解不等式是乙個過程），可以說，「不等式的解」是「解不等式」的結果。
2、檢驗乙個數值是不是已知不等式的解，只要把這個數代入不等式，然後判斷不等式是否成立，若成立，就是不等式的解，若不成立則就不是不等式的解。
3、不等式的三條性質是解不等式的重要依據。
4、解一元一次不等式是乙個有目的、有根據、有步驟的不等式變形，最終目的是將原不等式變為或的形式，其一般步驟是：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合併同類項；（5）化未知數的係數為1。這五個步驟根據具體題目，適當選用，合理安排順序。
但要注意，去分母或化未知數的係數為1時，在不等式兩邊同乘以（或除以）同乙個非零數時，如果是個正數，不等號方向不變，如果是個負數，不等號方向改變。
5、將一元一次不等式的解集在數軸上表示出來，可以直觀地反映出不等式有無限多個解，是數學中，數形結合思想的重要體現，要注意的是「兩定」：一是定邊界點，二是定方向。若邊界點包含在解集中，則用實心點表示，若邊界點不包含在解集中，則用空心圈表示；定方向，相對於邊界點而言，「小於向左，大於向右」。
6、用一元一次不等式解答實際問題，關鍵在於抓住問題中的有關數量的不等關係，列出不等式，求出不等式的解集後，從而得出具體問題的解答。
7、常見不等式的基本語言的意義：
（1），則是正數；
（2），則是負數；
（3），則是非正數；
（4），則是非負數；
（5），則大於；
（6），則小於；
（7），則不小於；
（8），則不大於；
（9）或，則，同號；
（10）或，則，異號；
（11），都是正數，若，則；若，則；
（12），都是負數，若，則；若，則；
【典型例題】
例1、用不等式表示：
（1）與1的和是正數 （2）的與的的差是負數 （3）的2倍與1的和大於3
（4）的一半與4的差不大於 （5）的4倍與的和是非負數
分析：列不等式時要注意抓住關鍵詞的意義，如「正數」、「負數」、「不大於」、「非負數」等等，一定要弄清不等關係。
解：（1） （2） （3） （4） （5）
注意：列不等式與列方程一樣，先列出代數式，然後用不等號連線，形成不等式。在列代數式時，仍然遵循「邊讀邊寫，先讀先寫」的原則。
例2、根據不等式性質，在橫線上填上不等號，並說明理由：
（1）若，則 2
（2）若，則
（3）若，且 ，則
（4）若，則
分析：不等式性質有三條，特別是第三條，不等式兩邊同乘以（或除以）同乙個負數，不等號方向改變。
解：（1）由於，根據不等式性質3，兩邊同乘以，不等號方向改變，得。
（2）由於，根據不等式性質3，兩邊同乘以負數，不等號方向改變，得；
由於，根據不等式性質3，兩邊同乘以，不等號方向改變，得，再根據不等式性質1，兩邊同減去，不等號方向不變，得
由於，，根據不等式性質3，兩邊同乘以負數，不等號方向改變，得
（3）由於，根據不等式性質2，兩邊同乘以正數，不等號方向不變，得，再由於得，由於，根據不等式性質2，兩邊同乘以正數，不等號方向不變，得，由於，根據兩個同分子的正分數，分母大的反而小，得
（4）方法①：由於，故，所以。（這是根據絕對值的性質）
方法②：由於，則（根據不等式性質3），再由於，則（根據不等式性質3），所以（根據不等式的傳遞性）
注意：不等式的三條性質是極其重要的，一定要很好掌握並能夠熟練運用。
例3、根據不等式性質，把下列不等式化為或的形式（為常數）
（1） （2） （3） （4）
解：（1）根據不等式性質1，不等式兩邊都加上，不等號方向不變。
所以故（2）根據不等式性質1，不等式兩邊都加上，不等號方向不變。
所以故（3）根據不等式性質3，不等式兩邊都除以，不等號方向改變。
所以故（4）根據不等式性質1，不等式兩邊都加上，不等號方向不變。
所以故再根據不等式性質3，不等式兩邊都除以，不等號方向改變。
所以故點評：不等式性質1中，兩邊同加上或減去的可以是數，也可以是整式，不等式性質3中的變號問題一定不能忽略。
那麼不等式的解集是什麼呢？這要分情況討論：
①，則的解集是
②，則的解集是
③且，則的解集是一切數
④且，則的解集是無解
那麼不等式的解集是什麼呢？同學們可以自己仿照上面的分類方法進行討論。
例4、比較大小：（1）與 （2）與
分析：比較大小常用的方法是「作差法」，即如果，那麼；如果，那麼；如果，那麼
解：（1）∵
∴當時，，故 ，所以
當時，，故 ，所以
當時，，故 ，所以
（2）∵而∴
點評：（1）中的比較大小要分情況討論，分類討論是數學中的乙個重要思想方法，分類時一定要做到「不重不漏」，既不要範圍重合，也不要漏掉全體範圍中的一部分。
（2）中作差後得到乙個具有特性的代數式，利用這個特性——平方是非負數，從而比較出兩個代數式的大小。
例5、解不等式，並把它的解集在數軸上表示出來。
分析： 解不等式的步驟與解方程的步驟一樣，①去分母；②去括號；③移項；④合併同類項；⑤係數化為1，其中要注意的是去分母和係數化為1，如果乘以或除以負數，不等號方向改變。
解： 去分母：
去括號：
合併同類項：
移項：合併同類項：
係數化為1：
不等式的解集在數軸上表示為：
注意：不包括在解集中，所以用空心圈，而用向右表示「大於」
例6、解關於的不等式
解：去括號：
移項：合併同類項：
討論：①當即時，，即
當即時，，即
點評：解含有字母的不等式，首先要弄清未知數，在係數化為1這一步時，如果未知數的係數含有字母，那麼就要對係數的正負性進行討論，以此決定不等號是否要改變。
例7、（1）為何正整數時，方程的解是非正數。
（2）滿足什麼條件時，方程的解是正數。
分析：方程的解是非正數或正數，那麼必須先將方程求解出來，然後再找滿足條件的字母的值。
解：（1）解方程：5x－3m=2m－15
x=m－3
x≤0 ∴n≤3
又∵m是正整數 ∴m=1,2,3
(2)6x－3x+3k=12－2x－6
5x=6－3k
∴x=∴x ＞0 ∴k＜2
例8、已知不等式的最小整數解為方程的解，求的值。
分析：為了求a的值，必須先知道2x－ax=4中，x的值。因此必須解不等式，從而找到符合條件最小整數的x的值。
解：5x－10+8＜6x－6+7
－x＜3
∴x＜－3
∵x＞－3的最小整數是－2
∴2x－ax=4中,x=－2
∴－4+2a=4
∴a=4
點評：解題時，往往根據所需求的結論，一步步往前推，找到已有的條件，而書寫時，則要從已知條件一步步推進，從而得到結論。
例9、如果不等式與的解集完全相同，求。
分析：解集完全相同，實際上首先要不等量方面一致，其次不等量右邊的常數相等。
解：解不等式
4x－2a＞3a－6
x＞ 由於兩個不等式的解集完全相同
∴中,a＜0
∴x＞2a
∴∴a=－2
例10、設不等式的解集為，求關於的不等式的解集。
分析： 先將不等式(a+b)x+(2a－3b)＜0的解集求出,再根據x＜－是不等式的解集,仿照例9,求出a,b的關係,然後再求(a－3b)x＞2a－b這個不等式的解集。
解：(a+b)x＜3b－2a
∵x＜－是不等式的解集
∴a+b＞0
∴x＜∴=－
∴a=2b
又∵a+b＞0
∴a＞0,b＞0
把a=2b代入(a－3b)x＞2a－b
設：(2b－3b)x＞4b－b
bx＞3b
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