1.（1）如圖①，abcd的對角線ac，bd交於點o，直線ef過點o，分別交ad，bc於點e，f．求證：ae=cf．
（2）如圖②，將abcd（紙片）沿過對角線交點o的直線ef摺疊，點a落在點a1處，點b落在點b1處，設fb1交cd於點g，a1b1分別交cd，de於點h，i． 求證：ei=fg．
證明：（1）∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ad∥bc，oa=oc， ∴∠1=∠2，
在△aoe和△cof中， ∠1=∠2，oa=oc，∠3=∠4
∴△aoe≌△cof（asa），∴ae=cf；
（2）∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴∠a=∠c，∠b=∠d，由（1）得ae=cf，
由摺疊的性質可得：ae=a1e，∠a1=∠a，∠b1=∠b，
∴a1e=cf，∠a1=∠a=∠c，∠b1=∠b=∠d，
又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，在△a1ie與△cgf中， ∠a1=∠c，∠5=∠6 ，a1e=cf
∴△a1ie≌△cgf（aas）， ∴ei=fg．
2.如圖1，在△abo中，∠oab=90°，∠aob=30°，ob=8．以ob為一邊，在△oab外作等邊三角形obc，d是ob的中點，連線ad並延長交oc於e．
（1）求點b的座標；
（2）求證：四邊形abce是平行四邊形；
（3）如圖2，將圖1中的四邊形abco摺疊，使點c與點a重合，摺痕為fg，求og的長．
（1）解：在△oab中，∠oab=90°，∠aob=30°，ob=8，
∴oa=obcos30°=8×，ab=obsin30° =8×=4∴點b的座標為 （，4）
（2）證明：∵∠oab=90°，∴ab⊥x軸，∵y軸⊥x軸，∴ab∥y軸，即ab∥ce，
∵∠aob=30°，∴∠oba=60°，∵db=do=4∴db=ab=4∴∠bda=∠bad=120°÷2=60°，
∴∠adb=60°，∵△obc是等邊三角形，∴∠obc=60°，∴∠adb=∠obc，即ad∥bc，
（3）∴四邊形abce是平行四邊形；（3）解：設og的長為x，∵oc=ob=8，∴cg=8-x，由摺疊的性質可得：ag=cg=8-x，在rt△aog中，ag2=og2+oa2， 即（8-x）2=x2+ （）解得：
x=1，即og=1．
3，如圖，已知△abc是等邊三角形，點d、f分別**段bc、ab上，∠efb=60°，dc=ef．
（1）求證：四邊形efcd是平行四邊形；
（2）若bf=ef，求證：ae=ad．
解，（1）∵△abc是等邊三角形，
∴∠abc=60°，
∵∠efb=60°，
∴∠abc=∠efb，∴ef∥dc（內錯角相等，兩直線平行），∵dc=ef，∴四邊形efcd是平行四邊形；
（2）連線be，∵bf=ef，∠efb=60°，∴△efb是等邊三角形，∴eb=ef，∠ebf=60°，∵dc=ef，
∴eb=dc，∵△abc是等邊三角形，∴∠acb=60°，ab=ac，∴∠ebf=∠acb，∴△aeb≌△adc，
∴ae=ad．
4.在△abc中，ac=bc，∠acb=90°，點d為ac的中點．
（1）如圖1，e為線段dc上任意一點，將線段de繞點d逆時針旋轉90°得到線段df，連線cf，過點f作fh⊥fc，交直線ab於點h．判斷fh與fc的數量關係並加以證明；
（2）如圖2，若e為線段dc的延長**任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發生改變，直接寫出你的結論，不必證明．
解：（1）fh與fc的數量關係是：fh=fc．
證明如下：延長df交ab於點g， 由題意，知∠edf=∠acb=90°，de=df，∴dg∥cb，∵點d為ac的中點，∴點g為ab的中點， 且dc=，∴dg為△abc的中位線， ∴dg =∵ac=bc，∴dc=dg，
∴dc-de=dg-df，即ec=fg．∵∠edf=90°，fh⊥fc，∴∠1+∠cfd=90°，∠2+∠cfd=90°，∴∠1=∠2．
∵△def與△adg都是等腰直角三角形，∴∠def=∠dga=45°，∴∠cef=∠fgh=135°，∴△cef≌△fgh，∴cf=fh．
（2）fh與fc仍然相等．
5如圖，△abc是等邊三角形，點d是邊bc上的一點，以ad為邊作等邊△ade，過點c作cf∥de交ab於點f．（1）若點d是bc邊的中點（如圖①），求證：ef=cd；
（2）在（1）的條件下直接寫出△aef和△abc的面積比；
（3）若點d是bc邊上的任意一點（除b、c外如圖②），那麼（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（1）證明：∵△abc是等邊三角形，d是bc的中點，∴ad⊥bc，且∠bad=∠bac=30°∵△aed是等邊三角形，∴ad=ae，∠ade=60°，∴∠edb=90°-∠ade=90°-60°=30°，∵ed∥cf，∴∠fcb=∠edb=30°，
∵∠acb=60°，∴∠acf=∠acb-∠fcb=30°，∴∠acf=∠bad=30°，
在△abd和△caf中， ∠bad=∠acf， ab=ca ，∠fac=∠b ∴△abd≌△caf（asa），∴ad=cf，∵ad=ed，∴ed=cf，又∵ed∥cf，∴四邊形edcf是平行四邊形，∴ef=cd．
（2）解：△aef和△abc的面積比為：1：4；
（3）解：成立． 理由如下：∵ed∥fc，∴∠edb=∠fcb，∵∠afc=∠b+∠bcf=60°+∠bcf，∠bda=∠ade+∠edb=60°+∠edb∴∠afc=∠bda， 在△abd和△caf中， ∠bda=∠afc ，∠b=∠fac ，ab=ca ，∴△abd≌△caf（aas），∴ad=fc，∵ad=ed，∴ed=cf，又∵ed∥cf，∴四邊形edcf是平行四邊形，∴ef=dc．
6在四邊形abcd中，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點，連線ef並延長，分別與ba、cd的延長線交於點m、n，則∠bme=∠cne（不需證明）．
（溫馨提示：在圖1中，連線bd，取bd的中點h，連線he、hf，根據三角形中位線定理，證明he=hf，從而∠1=∠2，再利用平行線性質，可證得∠bme=∠cne．）
問題一：如圖2，在四邊形adbc中，ab與cd相交於點o，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點，連線ef，分別交dc、ab於點m、n，判斷△omn的形狀，請直接寫出結論；
問題二：如圖3，在△abc中，ac＞ab，d點在ac上，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點，連線ef並延長，與ba的延長線交於點g，若∠efc=60°，連線gd，判斷△agd的形狀並證明．
6解：（1）取ac中點p，連線pf，pe， 可知pe =，pe∥ab，∴∠pef=∠anf，同理pf =，pf∥cd，
∴∠pfe=∠cme，又pe=pf，∴∠pfe=∠pef，∴∠omn=∠onm，∴△omn為等腰三角形．
（2）判斷出△agd是直角三角形．
證明：如圖連線bd，取bd的中點h，連線hf、he，
∵f是ad的中點，
∴hf∥ab，hf=同理，he∥cd，he =∵ab=cd∴hf=he，∵∠efc=60°，∴∠hef=60°，∴∠hef=∠hfe=60°，∴△ehf是等邊三角形，∴∠3=∠efc=∠afg=60°，∴△agf是等邊三角形．∵af=fd，
∴gf=fd，∴∠fgd=∠fdg=30°∴∠agd=90°即△agd是直角三角形．
7.（2008太原）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片△abc和△def．將這兩張三角形膠片的頂點b與頂點e重合，把△def繞點b順時針方向旋轉，這時ac與df相交於點o．
（1）當△def旋轉至如圖②位置，點b（e），c，d在同一直線上時，∠afd與∠dca的數量關係是（ ）
（2）當△def繼續旋轉至如圖③位置時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；
（3）在圖③中，連線bo，ad，探索bo與ad之間有怎樣的位置關係，並證明
8聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．
定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．
舉例：如圖1，若pa=pb，則點p為△abc的準外心．
應用：如圖2，cd為等邊三角形abc的高，準外心p在高cd上，且pd =ab，求∠apb的度數．
**：已知△abc為直角三角形，斜邊bc=5，ab=3，準外心p在ac邊上，試**pa的長．
解：①若pb=pc，連線pb，則∠pcb=∠pbc，
∵cd為等邊三角形的高，∴ad=bd，∠pcb=30°，
∴∠pbd=∠pbc=30°，∴pd=db=ab，
與已知pd=ab矛盾，∴pb≠pc，
②若pa=pc，連線pa，同理可得pa≠pc，
③若pa=pb，由pd=ab，得pd=bd，∴∠apd=45°，故∠apb=90°；
**：解：∵bc=5，ab=3，∴ac=，
①若pb=pc，設pa=x，則，∴，即pa=，
②若pa=pc，則pa=2，③若pa=pb，
由圖知，在rt△pab中，不可能。故pa=2或。
9如圖，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac=6，d為bc的中點．
（1）若e、f分別是ab、ac上的點，且ae=cf，求證：△aed≌△cfd；
（2）當點f、e分別從c、a兩點同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿ca、ab運動，到點a、b時停止；設△def的面積為y，f點運動的時間為x，求y與x的函式關係式，（3）在（2）的條件下，點f、e分別沿ca、ab的延長線繼續運動，求此時y與x的函式關係式．
9（1）證明：∵∠bac=90° ab=ac=6，d為bc中點
∴∠bad=∠dac=∠b=∠c=45°
∴ad=bd=dc ∵ae=cf∴△aed≌△cfd
（2）解：依題意有：fc=ae=x，
∵△aed≌△cfd
∴s四邊形aedf=s△aed+s△adf=s△cfd+s△adf=s△adc=9
∴s△edf=s四邊形aedf-s△aef=9 -∴y =
八年級下冊數學期末測試題
班級姓名學號得分 一 選擇題。每題3分，共30分 1.能夠判定乙個四邊形是平行四邊形的條件是 a 一組對角相等b 兩條對角線互相平分 c 兩條對角線互相垂直 d 一對鄰角的和為180 2.下列各式 其中分式共有 a 2個 b 3個c 4個d 5個 3.如圖,已知關於x的函式y k x 1 和y k ...
2023年八年級下冊數學期末模擬試題
2013 2014學年八年級數學期末模擬試題1 1 選擇題 每小題3分，共30分 1 下列運算正確的是 a b c d 2 函式中自變數x的取值範圍是 a b c d 3 若函式是正比例函式，則m的值是 a 3 b 3 c d 4 下列各點在直線上的是 a 5，4 b 7,20 c d 5 函式的影...
八年級下冊數學期末測試卷 定稿
中和中學八年級下冊期末測試卷 一 選擇題 本題有7小題，每小題3分，共21分 1.下列各式中，與的值相等的是 a.b.c.d.2.下圖中表示一次函式y mx n與正比例函式y m nx m n是常數，且mn 0 影象的是 3.下列命題錯誤的是 a.平行四邊形的對角相等b.對角線互相垂直的四邊形是菱形...