小故事大道理
從前在夏威夷有一對雙胞胎王子，有一天國王想為兒子娶媳婦了，便問大王子喜歡什麼樣的女性。王子回答：「我喜歡瘦的女孩子。
」而知道了這個訊息的年輕女性想：「如果順利的話，或許能攀上枝頭做鳳凰。」於是大家爭先恐後地開始**。
不知不覺，島上幾乎沒有胖的女性了。不僅如此，因為女孩子一碰面就競相比較誰更苗條，甚至出現了餓死的情況。但後來事情的變化急轉直下，大王子因為生病一下子就過世了，因此倉促決定由弟弟來承王位。
於是國王想為小王子娶媳婦，便問他同樣的問題。「比起這樣的女孩子，我比較喜歡豐滿的女性。」小王子說。
而知道訊息的島上年輕女性，又開始大吃大喝以求增肥，不知不覺間，島上幾乎沒有瘦的女性了。島上的食物被吃得亂七八糟，為預防饑荒而儲存的糧食也幾乎被吃光了。而最後王子所選的新娘，卻是一位不胖不瘦的女性。
王子的理由是：「如果是不瘦不胖的女性，不必擔心她會餓死，永遠都能保持健康。」
大道理：你的缺陷可能是你的優勢，不要一味地掩飾自己的缺陷，也不要努力使自己的缺陷去迎合世俗，那大可不必，積極面對你的缺陷，放對了地方，那缺陷也就變成了優勢。
1、知識點回顧
1、函式單調性的常用結論：
①若均為某區間上的增（減）函式，則在這個區間上也為增（減）函式
②若為增（減）函式，則為減（增）函式
③若與的單調性相同，則是增函式；若與的單調性不同，則是減函式。
④奇函式在對稱區間上的單調性相同，偶函式在對稱區間上的單調性相反。
⑤常用函式的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函式圖象。
2、函式奇偶性的常用結論：
①如果乙個奇函式在處有定義，則，如果乙個函式既是奇函式又是偶函式，則（反之不成立）
②兩個奇（偶）函式之和（差）為奇（偶）函式；之積（商）為偶函式。
③乙個奇函式與乙個偶函式的積（商）為奇函式。
④兩個函式和復合而成的函式，只要其中有乙個是偶函式，那麼該復合函式就是偶函式；當兩個函式都是奇函式時，該復合函式是奇函式。
⑤若函式的定義域關於原點對稱，則可以表示為，該式的特點是：右端為乙個奇函式和乙個偶函式的和。
2、專題講解
題型一函式單調性的判斷與證明
【例1】試討論函式f(x)＝，x∈(－1,1)的單調性(其中a≠0).
【方法歸納】判斷函式單調性的常用方法：
(1)定義法.
(2)兩個增(減)函式的和為增(減)函式；乙個增(減)函式與乙個減(增)函式的差是增(減)函式；當f(x)恒為正或恒為負時，與y＝f(x)的單調性相反.
(3)奇函式在對稱的兩個區間上有相同的單調性，偶函式在對稱的兩個區間上有相反的單調性.
(4)如果f(x)在區間d上是增(減)函式，那麼f(x)在d的任一子區間上也是增(減)函式.
(5)如果y＝f(u)和u＝g(x)單調性相同，那麼y＝f[g(x)]是增函式；如果y＝f(u)和u＝g(x)單調性相反，那麼y＝f[g(x)]是減函式.
(6)如果f(x)在區間d上可導且f′(x)在區間d上恆大於(小於)零，則y＝f(x)在區間d上單調遞增(減).
【變式訓練】已知函式f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1時有最大值2，求a的值.
題型二求函式的單調區間
【例2】求下列函式的單調區間：
(1)f(x)＝－x2＋3x－2； (2)f(x)＝3|x|；
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (4)f(x)＝x＋(x＞0).
【方法歸納】(1)函式的單調區間是函式定義域的子集或真子集，求函式的單調區間必須首先確定函式的定義域，求函式的單調區間的運算應該在函式的定義域內進行；
(2)可以熟記一些基本函式的單調性，化複雜的函式為基本函式組合形式後利用已知結論判斷.
【變式訓練】函式y＝－(x－3)|x|的單調增區間是
題型三函式單調性的應用
【例3】已知函式f(x)的定義域為[－1,1]，且對於任意的x1，x2∈[－1,1]，當x1≠x2時，都有＞0.
(1)試判斷函式f(x)在區間[－1,1]上是增函式還是減函式，並證明你的結論；
(2)解不等式f(5x－1)＜f(6x2).
【方法歸納】(1)解含有抽象符號「f 」的不等式時，關鍵是符號「f 」的「穿」和「脫」.在這裡，首先要穿上符號「f 」，然後再利用函式的單調性脫去「f 」，使之成為能夠求解的普通不等式.
(2)單調性的定義實質上給出了自變數與函式值大小關係的轉化.如果f(x)在d上為增函式，則x1，x2∈d，x1＜x2f(x1)＜f(x2)，以上也是脫去符號「f 」的重要手段.
【變式訓練】已知函式f(x)對於x，y∈r總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，當x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－，求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值.
題型四函式奇偶性的判斷
【例4】討論下列函式的奇偶性：
(1)f(x)＝(x＋1)； (2)f(x)＝
(3)f(x
【方法歸納】判斷函式的奇偶性，應首先分析函式的定義域，在分析時，不要把函式化簡，而要根據原來的結構去求解定義域，如果定義域不關於原點對稱，則一定是非奇非偶函式.復合函式奇偶性的判斷有兩種基本思路，一是直接利用奇函式、偶函式的定義，二是根據復合函式的內、外函式來分析判斷.
【變式訓練】判斷下列函式的奇偶性：
(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝
題型五函式奇偶性的應用
【例5】若函式f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函式，求f(x)的解析式.
【方法歸納】對於此類已知函式的奇偶性的問題，首先想到等式f(－x)＝f(x)(或－f(x))，充分利用該等式及其函式圖象特徵就能解決問題.另外，函式f(x)為奇函式且在x＝0處有意義，必有f(0)＝0.
【變式訓練】定義在r上的偶函式f(x)滿足：對任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0，則 ( )
題型六函式奇偶性與單調性的綜合
【例6】已知函式y＝f(x)的定義域為r，且對任意a，b∈r，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b).且當x＞0時，f(x)＜0恆成立，f(3)＝－3.
(1)證明函式y＝f(x)是r上的減函式；
(2)證明函式y＝f(x)是奇函式；
(3)試求函式y＝f(x)在[m，n](m，n∈z)上的值域.
【方法歸納】解決抽象函式的單調性、奇偶性等問題時，若條件中含有某一範圍內某一式子都成立的語句時，常採用賦值法，但賦值要恰當.
【變式訓練】已知偶函式f(x)在區間[0，＋∞)上單調遞增，則滿足f(2x－1)＜f()的x的取值範圍是 ( )
a. b.) c. d.)
3、鞏固練習
二次函式在閉區間上的最值
函式f(x)＝x2－4x－4在閉區間[t，t＋1](t∈r)上的最小值記為g(t).
(1)試寫出g(t)的函式關係式；
(2)作出g(t)的大致圖象，並求出g(t)的最小值.
4、拓展訓練：
抽象函式的證明與計算
已知函式f(x)的定義域是x≠0的一切實數，對定義域內的任意x1，x2都有f(x1· x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當x＞1時f(x)＞0，f(2)＝1.
(1)求證：f(x)是偶函式；
(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函式；
(3)解不等式f(2x2－1)＜2.
5、反思總結：
學習函式要重點解決好四個問題：準確深刻地理解函式的有關概念；揭示並認識函式與其他數學知識的內在聯絡；把握數形結合的特徵和方法；認識函式思想的實質，強化應用意識.
(一)準確、深刻理解函式的有關概念
概念是數學的基礎，而函式是數學中最主要的概念之一，函式概念貫穿在中學代數的始終.數、式、方程、函式、排列組合、數列極限等是以函式為中心的代數.近十年來，高考試題中始終貫穿著函式及其性質這條主線.
(二)揭示並認識函式與其他數學知識的內在聯絡.函式是研究變數及相互聯絡的數學概念，是變數數學的基礎，利用函式觀點可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數列、曲線與方程等內容.在利用函式和方程的思想進行思維中，動與靜、變數與常量如此生動的辯證統一，函式思維實際上是辯證思維的一種特殊表現形式.
所謂函式觀點，實質是將問題放到動態背景上去加以考慮.高考試題涉及5個方面：(1)原始意義上的函式問題；(2)方程、不等式作為函式性質解決；(3)數列作為特殊的函式成為高考熱點；(4)輔助函式法；(5)集合與對映，作為基本語言和工具出現在試題中.
(三)把握數形結合的特徵和方法
函式圖象的幾何特徵與函式性質的數量特徵緊密結合，有效地揭示了各類函式和定義域、值域、單調性、奇偶性、週期性等基本屬性，體現了數形結合的特徵與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪製圖形，又要熟練地掌握函式圖象的平移變換、對稱變換.
(四)認識函式思想的實質，強化應用意識
函式思想的實質就是用聯絡與變化的觀點提出數學物件，抽象數量特徵，建立函式關係，求得問題的解決.縱觀近幾年高考題，考查函式思想方法尤其是應用題力度加大，因此一定要認識函式思想實質，強化應用意識.
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1、選擇題
1、【2012吉林市期末質檢】設函式是定義在上的奇函式，且對任意都有，當時，，則的值為（ ）
abc. 2d.
2、【2012三明市普通高中高三上學期聯考】已知函式是奇函式， 當時，=，則的值等於 （ ）
a. bcd.
3、(2023年高考全國卷ⅰ改編)函式f(x)的定義域為r，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函式，則下列結論正確的是 （ ）
是偶函式 是奇函式 是奇函式
二、填空題
1、（2012上海理）已知是奇函式,且.若,則_______ .
2、(2023年高考遼寧卷改編)已知偶函式f(x)在區間[0，＋∞)上單調增加，則滿足f(2x－1) 學習目標 1.理解並掌握作正切函式影象 3.掌握正切影象性質並應用性質解題。一 複習引入 1 正切線的畫法。2 3 有意義，則滿足什麼條件？二 正切函式的圖象 三 自學 1 根據的圖象總結正切函式的性質 1 定義域 2 值域 3 奇偶性 4 週期性 5 對稱性 6 單調性 2 函式的最小正週期為 三... 基礎知識精講 1.正切函式的影象 1 根據tan x tanx 其中x k k z 推出正切函式的週期為 2 根據tanx 要使tanx有意義，必須cosx 0,從而正切函式的定義域為 3 根據正切函式的定義域和週期，我們取x 利用單位圓中的正切線，通過平移，作出y tanx,x 的影象，而後向左 ... 1.4.3 正切函式的圖象與性質 景泰二中數學組胡鈺敏 一 教學目標 知識與技能 理解正切函式的定義及正切函式的影象特徵，研究並掌握正切函式的基本性質 過程與方法 在 正切函式基本性質和影象的過程中，滲透數形結合的思想，培養學生作圖能力，運用函式圖象分析 問題的能力 情感態度與價值觀 在解決問題的過...正切函式的影象和性質
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