一．問答題
1．敘述n階行列式的余子式和代數余子式的定義，並寫出二者之間的關係。
答：定義：在n階行列式d中劃去aij所在的第i行和第j列的元素後，剩下的元素按原來相對位置所組成的（n-1）階行列式，稱為aij的余子式，記為mij，即
mij=
（-1）i+j×mij稱為aij的代數余子式，記為aij，即aij=（-1）i+j×mij
2．敘述矩陣的秩的定義。
答：定義：設a為m×n矩陣。如果a中不為零的子式最高端為r，即存在r階子式不為零，而任何r+1階子式皆為零，則稱r為矩陣a的秩，記作（秩）＝r或r（a）＝r。
3．齊次線性方程組的基礎解系是什麼？
答：定義：設t是的所有解的集合，若t中存在一組非零解v1，v2，…，vs滿足
（1）v1，v2，…，vs線性無關；
（2）任意v∈t，都可用v1，v2，…，vs線性表示，則稱v1，v2，…，vs是此方程組的乙個基礎解系。
4．試寫出條件概率的定義。
答：條件概率的定義：在事件b發生的條件下事件a發生的概率定義為
5．試寫出全概率公式和貝葉斯公式這兩個定理。
答：定理1（全概率公式）設事件a1，a2，…,an構成完備事件組，且p(ai)＞0（i=1,2，…，n），則對任意事件b，有。特別地，當n=2時，全概率公式為
定理2（貝葉斯公式）設事件a1，a2，…,an構成完備事件組，且p(ai)＞0（i=1,2，…，n）, 則對任意事件b(p(b)＞0)，有
二．填空題
1．行列式4 ．
2．設均為3階矩陣，且，則 -72 。
3．如果齊次線性方程組的係數行列式，那麼它有唯一零解．
4．用消元法解線性方程組，其增廣矩陣經初等行變換後,化為階梯陣
，則 (1)當 s=0，t≠0 時, 無解;
(2)當 s=0，t=0 時, 有無窮多解;
(3)當s≠0，t 是任意實數時, 有唯一解。
5．設有n件產品，其中有m件次品，若從n件產品中任意抽取n件，則抽到的n件中檢有件次品的概率為p＝。
6．隨機變數數學期望的性質有
（1）＝ ae(x)+b （a，b為常數）；
（2）設有兩個任意的隨機變數x，y，它們的期望存在，則有＝ e(x)+e(y) 。
（3）設是相互獨立的兩個隨機變數，且各自的期望均存在，則有
。7．設為總體的乙個容量為的樣本，則稱統計量
（1）＝為樣本均值；
（2）＝為樣本方差。
8．由概率的加法公式知，
（1）對任意兩個事件a，b，有
＝ p(a)+p(b)-p(ab) ；
（2）如果事件a，b互不相容，則
p(a)+p(b) ；
三．計算題
1．計算行列式．
解： 2．設，，求。
解： 3．求矩陣的秩。
解： 由此可得，矩陣的秩是2.
4．解齊次線性方程組。
解：經過初等變換：
與原方程組同解的方程組為：
所以，方程組的一般解為
（其中，x3,x4為自由未知量）
5．試問取何值時，齊次線性方程組有非零解？
解：係數行列式為：
所以，當=-8時，該齊次線性方程組有非零解。
6．設有甲、乙兩名射手，他們每次射擊命中目標的概率分別是0。8和0。7。現兩人同時向同一目標射擊一次，試求：
（1）目標被命中的概率；
（2）若已知目標被命中，則它是甲命中的概率是多少？
解：（1）用a表示「甲命中目標」，b表示「乙命中目標」，用c表示「目標被命中」，其中a和b互為獨立事件。
p(c)=p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)=0.8+0.7-0.8×0.7=0.94
(2)目標被命中，是甲命中的概率記為,
則7．一袋中有m個白球，n個黑球，無放回地抽取兩次，每次取一球，求：
（1）在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的條件概率；
（2）在第一次取到黑球的條件下，第二次取到白球的條件概率。
解：（1）用a表示「第一次取到白球」，b表示「第二次取到白球」
袋中原有m+n個球，其中m個白球，第一次取到白球後，袋中還有m+n-1個球，其中m-1個為白球，故
（2）袋中原有m+n個球，其中m個白球，第一次取到黑球後，袋中還有m+n-1個球，其中m個為白球，故
8．某工廠生產一批商品，其中一等品點，每件一等品獲利3元；二等品佔，每件二等品獲利1元；次品佔，每件次品虧損2元。求任取1件商品獲利x的數學期望與方差。
解： 9．設某儀器總長度x為兩個部件長度之和，即x=x1+x2，且已知它們的分布列分別為
求：（1）；（2）；（3）。
解：(1)
(2)(3)
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