2023年11月
一．填空題（每小題3分，共15分）
1．設，則 24 。
2．設為三階方陣，且，則 500 。
3．設是階矩陣，的秩，則齊次線性方程組的基礎解系所含解向量的個數是 n-r 。
4．設3階方陣的特徵值是1，2，3，則的伴隨矩陣的特徵值是 38，22，18 。
5．設二次型，則二次型的係數矩陣為
二．選擇題（每小題3分，共15分）
1．設是33矩陣，且，又，
則（ b ）。
a．1 ； b. 2 ； c. 3d. 不確定
2. 設向量組線性無關, 則下列向量組中線性無關的是( d )。
a．；b．；c．；d．3．設是3階方陣，且，是的伴隨矩陣，則（ a ）。
abcd．
4．設，則（ c ）。
ab． ；
c． ； d．
5．設都是階方陣，且與相似,則（ d ）。
a．； b．與有相同的特徵值和特徵向量；
c．與都相似於乙個對角矩陣
d．對任意常數,與相似
三．計算題（共54分）
1．（本題8分）計算行列式： 。
解：d4*****12
2．（本題10分）設為3階方陣，已知，並且滿足：，求矩陣。
a*=|a|a-1 （a*）-1=
b=（a*）-1（e+a-1）a-1=（e+a-1）a-1
=（a+e-1）a-1=（e+a-1）
|a|==3 a-1==
b=3（本題14分）設方程組 , 試問分別為何值時
(1)方程組有唯一解；
(2)方程組無解；
(3)方程組有無窮多解,並求出通解表示式。
解： （1）-2且1時，方程組有唯一解。
（2）=-2時，方程組無解。
（3）=1時，有無量多解，通解：
4．（本題12分）求矩陣特徵值與特徵向量。
解(1)
當λ=-5時
特徵向量可取為ξ1=（-1，-1，1）
當λ=1時
取特徵向量為ξ2=（1，1，0），ξ3=（1，1，0），
5．（本題14分）設, , , ,
(1)求向量組的一組極大線性無關組；
(2)求一組與向量組的極大線性無關組等價的單位正交向量組。
（1）取即為的極大無關組。
（2），
則即為單位正交向量組。
四．證明題（共10分）
1．（本題5分）設線性無關， 線性相關，
證明：可由唯一地線性表示。
因為α1，α2，…，β線性相關，所以在一組不全為0的數λ1，…，λm，λ，
使得：λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λβ=0
下證λ≠0，假設λ=0，則λ1，λ2，…，λm不全為0，
且λ1α1+λ2α2+…+λmαm+λβ=0
於是向量組α1，α2，…，αm線性相關，與已知矛盾，因此λ≠0
從而：，即β由α1，α2，…，αm線性表示
下證表示法的唯一性
若β可由α1，α2，…，αm線性表示為兩種形式
β=k1α1+ k2α2+…+kmαm
β=u1α1+ u2α2+…+umαm
兩式相減得：（k1-u1）α1+…+（km-um）αm=0
∵α1，…，αm線性無關，∴k1=u1(i=1,2,…,m)故表示法唯一
2．（本題5分）設方陣滿足：(1) ；(2)；(3)，
證明：是正定矩陣。
證：∵at=a，即a為實對矩陣
∵a2-a=0 ∴λ2-λ=0
設λ為a的任一特徵根
（λ-1）λ=0
∵ ∴λ≠0
即λ=1
∴a的特徵根全大於0
故a為正定陣
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