線性卷積與圓周卷積的計算

一、基本原理

1. 線性卷積

當系統輸入序列為x(n),系統的單位衝擊響應為h(n)，輸出序列為y（n），則線性時不變系統輸入、輸出間的關係為：

y（n）=h（n）*x（n）

2. 圓周卷積

設兩個有限長序列和，均為點，其點的dft分別為和，如果，則

2、實驗內容與要求

已知兩個有限長序列：

（1）實驗前，預先筆算好這兩個序列的線性卷積及下列幾種情況的圓周卷積

（2）編制乙個計算兩個序列線性卷積的通用程式，計算。

（3）編制乙個計算圓周卷積的通用程式，計算上述4種情況下的兩個序列的圓周卷積。

（4）上機除錯並記錄實驗結果

（5）將實驗結果和預先筆算的結果比較，驗證其正確性。

三、實驗過程

function yc=circonv(x1, x2, n)

if length(x1)>n

error('n必須大於等於x1的長度');

endif length(x2)>n

error('n必須大於等於x2的長度');

endx1=[x1, zeros(1,n-length(x1))];

x2=[x2, zeros(1,n-length(x2))];

n=[0:1:n-1];

x2=x2(mod(-n, n)+1);

h=zeros(n, n);

for n=1:1:n

h(n,:)=cirshiftd(x2, n-1, n);

endyc=x1*h計算圓周卷積

function y=cirshiftd(x, m, n)

if length(x)>n

error('x的長度必須小於n');

endx=[x, zeros(1, n-length(x))];

n=[0:1:n-1];

y=x(mod(n-m,n)+1);

x(n)⑤y(n)

clear all

xn=[1 2 3 4 5];

hn=[1 2 1 2];

n1=length(xn);

n2=length(hn);

y1n=conv(xn, hn);

ycn=circonv(xn, hn, 5);

ny1=[0:1:length(y1n)-1];

ny2=[0:1:length(ycn)-1];

subplot(2,1,1);

stem(ny1, y1n);

subplot(2,1,2);

stem(ny2, ycn);

x(n)⑥y(n)

clear all;

n1=5;

n2=4;

xn=[1 2 3 4 5];

hn=[1 2 1 2];

yln=conv(xn,hn);

ycn=circonv(xn,hn,6);

ny1=[0:1:length(yln)-1];

ny2=[0:1:length(ycn)-1];

subplot(2,1,1);

stem(ny1,yln);

ylabel('線性卷積');

subplot(2,1,2);

stem(ny2,ycn);

ylabel('圓周卷積');

x(n)⑨y(n)

clear all;

n1=5;

n2=4;

xn=[1 2 3 4 5];

hn=[1 2 1 2];

yln=conv(xn,hn);

ycn=circonv(xn,hn,9);

ny1=[0:1:length(yln)-1];

ny2=[0:1:length(ycn)-1];

subplot(2,1,1);

stem(ny1,yln);

ylabel('線性卷積');

subplot(2,1,2);

stem(ny2,ycn);

ylabel('圓周卷積');

x(n)⑩y(n)

clear all;

n1=5;

n2=4;

xn=[1 2 3 4 5];

hn=[1 2 1 2];

yln=conv(xn,hn);

ycn=circonv(xn,hn,10);

ny1=[0:1:length(yln)-1];

ny2=[0:1:length(ycn)-1];

subplot(2,1,1);

stem(ny1,yln);

ylabel('線性卷積');

subplot(2,1,2);

stem(ny2,ycn);

ylabel('圓周卷積');

4、思考題解答

（4）線性卷積運算一般步驟為：①求x1(n)與x2（n）的線性卷積；②對x1(m)或x2（m）先進行映象移位x1（-m），對移位後的序列再進行從左至右的依次平移x(n-m),當n=0,1,2.…n-1時，分別將x(n-m)與x2（m）相乘，並在m=0,1,2.

…n-1的區間求和，便得到y（n）。

圓周卷積運算一般步驟為：在圓周卷積過程中，求和變數為m，n為參變數，先將x2(m)週期化，形成x2((m))n,再反轉形成x2((-m))n,取主值序列則得到x2((-m))nrn(m),通常稱之為x2(m)的圓周反轉。對x2(m)圓周反轉序列圓周右移n,形成x2((n-m))nrn(m),當n=0,1,2,…,n-1時，分別將x1(m)與x2((n-m))nrn(m)相乘，並在m=0到n-1區間內求和，便得到圓周卷積y(n)。

（5）採用圓周卷積運算代替線性卷積運算：時域圓周卷積在頻域上相當於兩序列的dft的相乘，而計算dft可以採快速傅利葉變換（fft），因此圓周卷積和線性卷積相比，計算速度可以得到提高。

線性卷積與圓周卷積的計算

利用FFT計算卷積

關於立方卷積插值數字影象處理的簡單翻譯

線性編輯與非線性編輯的概念與區別

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