2023年普通高等學校夏季招生全國統一考試數學文史類
(安徽卷)
第ⅰ卷(選擇題共50分)
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．(2013安徽，文1)設i是虛數單位，若複數(a∈r)是純虛數，則a的值為( )．
a．－3 b．－1 c．1 d．3
2．(2013安徽，文2)已知a＝，b＝，則(ra)∩b＝( )．
a．3．(2013安徽，文3)如圖所示，程式框圖(演算法流程圖)的輸出結果為( )．
a． b． c． d．
4．(2013安徽，文4)「(2x－1)x＝0」是「x＝0」的( )．
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
5．(2013安徽，文5)若某公司從五位大學畢業生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為( )．
a． b． c． d．
6．(2013安徽，文6)直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為( )．
a．1 b．2 c．4 d．
7．(2013安徽，文7)設sn為等差數列的前n項和，s8＝4a3，a7＝－2，則a9＝( )．
a．－6 b．－4 c．－2 d．2
8．(2013安徽，文8)函式y＝f(x)的圖象如圖所示，在區間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值範圍為( )．
a． b． c． d．
9．(2013安徽，文9)設△abc的內角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sin a＝5sin b，則角c＝( )．
a． b． c． d．
10．(2013安徽，文10)已知函式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有兩個極值點x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，則關於x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實根個數為( )．
a．3 b．4 c．5 d．6
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡的相應位置．
11．(2013安徽，文11)函式的定義域為
12．(2013安徽，文12)若非負變數x，y滿足約束條件則x＋y的最大值為
13．(2013安徽，文13)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為
14．(2013安徽，文14)定義在r上的函式f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x
15．(2013安徽，文15)如圖，正方體abcd－a1b1c1d1的稜長為1，p為bc的中點，q為線段cc1上的動點，過點a，p，q的平面截該正方體所得的截面記為s.則下列命題正確的是寫出所有正確命題的編號)．
①當0＜cq＜時，s為四邊形
②當cq＝時，s為等腰梯形
③當cq＝時，s與c1d1的交點r滿足c1r＝
④當＜cq＜1時，s為六邊形
⑤當cq＝1時，s的面積為
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．解答寫在答題卡上的指定區域內．
16．(2013安徽，文16)(本小題滿分12分)設函式f(x)＝sin x＋.
(1)求f(x)的最小值，並求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)不畫圖，說明函式y＝f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經過怎樣的變化得到．
17．(2013安徽，文17)(本小題滿分12分)為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯考數學成績情況，用簡單隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學生，以他們的數學成績(百分制)作為樣本，樣本資料的莖葉圖如下：
(1)若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學生總人數，並估計甲校高三年級這次聯考數學成績的及格率(60分及60分以上為及格)；
(2)設甲、乙兩校高三年級學生這次聯考數學平均成績分別為，，估計值．
18．(2013安徽，文18)(本小題滿分12分)如圖，四稜錐p－abcd的底面abcd是邊長為2的菱形，∠bad＝60°.已知pb＝pd＝2，pa＝.
(1)證明：pc⊥bd；
(2)若e為pa的中點，求三稜錐p－bce的體積．
(1)證明：連線ac，交bd於o點，連線po.
因為底面abcd是菱形，所以ac⊥bd，bo＝do.
由pb＝pd知，po⊥bd．再由po∩ac＝o知，bd⊥面apc，因此bd⊥pc．
19．(2013安徽，文19)(本小題滿分13分)設數列滿足a1＝2，a2＋a4＝8，且對任意n∈n*，函式f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－aa＋2sin x滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)若bn＝2，求數列的前n項和sn.
20．(2013安徽，文20)(本小題滿分13分)設函式f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，區間i＝．
(1)求i的長度(注：區間(α，β)的長度定義為β－α)；
(2)給定常數k∈(0,1)，當1－k≤a≤1＋k時，求i長度的最小值．
21．(2013安徽，文21)(本小題滿分13分)已知橢圓c： (a＞b＞0)的焦距為4，且過點p(，)．
(1)求橢圓c的方程；
(2)設q(x0，y0)(x0y0≠0)為橢圓c上一點．過點q作x軸的垂線，垂足為e.取點a(0,)，連線ae.過點a作ae的垂線交x軸於點d．點g是點d關於y軸的對稱點，作直線qg.
問這樣作出的直線qg是否與橢圓c一定有唯一的公共點？並說明理由．
2023年普通高等學校夏季招生全國統一考試數學文史類
(安徽卷)
第ⅰ卷(選擇題共50分)
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．答案：d
解析：由已知，得＝a－3－i，
∵複數為純虛數，∴a－3＝0，即a＝3.
2．答案：a
解析：∵a＝，∴ra＝，
∴(ra)∩b＝．
3． 答案：c
解析：開始，2＜8，s＝0＋，n＝2＋2＝4；
返回，4＜8，，n＝4＋2＝6；
返回，6＜8，，n＝6＋2＝8；
返回，8＜8不成立，輸出.
4．答案：b
解析：由(2x－1)x＝0，得x＝或x＝0.
故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分條件．
5．答案：d
解析：五人錄用三人共有10種不同方式，分別為：，，，，，，，，，．
其中含甲或乙的情況有9種，故選d．
6． 答案：c
解析：由圓的一般方程可化為圓的標準方程：
(x－1)2＋(y－2)2＝5，可知圓心座標為(1,2)，半徑為，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理可得弦長一半為.
故弦長為4.
7．答案：a
解析：由s8＝4a3知：a1＋a8＝a3，a8＝a3－a1＝2d＝a7＋d，所以a7＝d＝－2.所以a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.
8．答案：b
解析：＝＝…＝可化為＝＝…＝，所以可以理解為圖象上一點與座標原點確定的斜率相等．由數形結合可得：曲線①為n＝2，曲線②為n＝3，曲線③為n＝4.
9． 答案：b
解析：∵3sin a＝5sin b，
∴3a＝5b. ①
又b＋c＝2a, ②
∴由①②可得，a＝b，c＝b，
∴cos c＝
＝. ∴c＝π.
10．答案：a
解析：由f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0，得
x＝x1或x＝x2，
即3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根為f(x)＝x1或f(x)＝x2的解，由題可知f(x)的草圖為：
由數形結合及x1＜x2可知滿足f(x)＝x1的解有2個，滿足f(x)＝x2的解僅有1個，因此3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實數根個數為3.
第ⅱ卷(非選擇題共100分)
考生注意事項：
請用0.5公釐黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡的相應位置．
11．答案：(0,1]
解析：由0＜x≤1.
∴該函式的定義域為(0,1]．
12．答案：4
解析：約束條件表示的可行域如圖陰影部分．由線性規劃知識得最優解為(4,0)，令z＝x＋y，則zmax＝4＋0＝4.
13．答案：
解析：∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos〈a，b〉＝.
14．答案： x(x＋1)
解析：∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，
∴f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]
＝x(x＋1)．
15． 答案：①②③⑤
解析：當cq＝時，d1q2＝d1c12＋c1q2，ap2＝ab2＋bp2，所以d1q＝ap.又因為ad1∥pq，ad1＝2pq，所以②正確；當0＜cq＜時，截面為apqm，所以為四邊形，故①也正確，如圖①所示．
圖①如圖②，當cq＝時，由△qcn∽△qc1r得
，即，c1r＝，故③正確．
圖②如圖③所示，當cq＝1時，截面為apc1e.
可知ac1＝，ep＝且apc1e為菱形，
＝，故⑤正確．
當＜cq＜1時，截面為五邊形apqmf.
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