第1講平面向量的概念及線性運算
【2023年高考會這樣考】
1．考查平面向量的線性運算．
2．考查平面向量的幾何意義及其共線條件．
【複習指導】
本講的複習，一是要重視基礎知識，對平面向量的基本概念，加減運算等要熟練掌握，二是要掌握好向量的線性運算，搞清這些運算法則和實數的運算法則的區別．
基礎梳理
1．向量的有關概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：長度等於0的向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等於1個單位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規定：0與任一向量共線．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算
3.向量的數乘運算及其幾何意義
(1)定義：實數λ與向量a的積是乙個向量，這種運算叫向量的數乘，記作λa，它的長度與方向規定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0.
(2)運算律：設λ，μ是兩個實數，則
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一乙個實數λ，使得b＝λa.
一條規律
一般地，首尾順次相接的多個向量的和等於從第乙個向量起點指向最後乙個向量終點的向量．
兩個防範
(1)向量共線的充要條件中要注意「a≠0」，否則λ可能不存在，也可能有無數個．
(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯絡，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．
雙基自測
1．(人教a版教材習題改編)d是△abc的邊ab上的中點，則向量等於
ab．－－
cd. ＋
解析如圖，
＝＋＝＋＝－＋.
答案 a
2．判斷下列四個命題：
①若a∥b，則a＝b；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若|a|＝|b|，則a∥b；④若a＝b，則|a|＝|b|.
正確的個數是( )．
a．1 b．2 c．3 d．4
解析只有④正確．
答案 a
3．若o，e，f是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是( )．
a. ＝＋ b. ＝－
c. ＝－＋ d. ＝－－
解析 ＝＋＝－.
答案 b
4．(2011·四川)如圖，正六邊形abcdef中，＋＋＝( )．
a．0b.
cd.解析答案 d
5．設a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與2a－b共線，則
解析由題意知：a＋λb＝k(2a－b)，則有：
∴k＝，λ＝－.
答案 －
考向一平面向量的概念
【例1】下列命題中正確的是( )．
a．a與b共線，b與c共線，則a與c也共線
b．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是乙個平行四邊形的四個頂點
c．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量
d．有相同起點的兩個非零向量不平行
[審題視點] 以概念為判斷依據，或通過舉反例說明其正確與否．
解析由於零向量與任一向量都共線，所以a不正確；由於數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，所以b不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關，所以d不正確；對於c，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假設a與b不都是非零向量，即a與b中至少有乙個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選c.
答案 c
解決這類與平面向量的概念有關的命題真假的判定問題，其關鍵在於透徹理解平面向量的概念，還應注意零向量的特殊性，以及兩個向量相等必須滿足：(1)模相等；(2)方向相同．
【訓練1】 給出下列命題：
①若a，b，c，d是不共線的四點，則＝是四邊形abcd為平行四邊形的充要條件；
②若a＝b，b＝c，則a＝c；
③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a與b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．
其中正確命題的序號是________．
解析 ①②正確，③④錯誤．
答案 ①②
考向二平面向量的線性運算
【例2】如圖，
d，e，f分別是△abc的邊ab，bc，ca的中點，則( )．
a. ＋＋＝0
b. －＋＝0
c. ＋－＝0
d. －－＝0
[審題視點] 利用平面向量的線性運算並結合圖形可求．
解析 ∵＋＋＝0，∴2＋2＋2＝0，
即＋＋＝0.
答案 a
三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法，共起點的向量，和用平行四邊形法則，差用三角形法則．
【訓練2】 在△abc中，＝c，＝b，若點d滿足＝2，則＝
a. b＋c b. c－b
c. b－c d. b＋c
解析 ∵＝2，∴－＝2(－)，
∴3＝2＋
∴＝＋＝b＋c.
答案 a
考向三共線向量定理及其應用
【例3】設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
求證：a，b，d三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．
[審題視點] (1)先證明，共線，再說明它們有乙個公共點；(2)利用共線向量定理列出方程組求k.
(1)證明 ∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.
∴，共線，又它們有公共點，∴a，b，d三點共線．
(2)解 ∵ka＋b與a＋kb共線，
∴存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是兩不共線的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.
平行向量定理的條件和結論是充要條件關係，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求引數．利用兩向量共線證明三點共線要強調有乙個公共點．
【訓練3】 (2011·蘭州模擬)已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈r)，那麼a，b，c三點共線的充要條件是( )．
a．λ＋μ＝2 b．λ－μ＝1
c．λμ＝－1 d．λμ＝1
解析由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈r)及a，b，c三點共線得：＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故選d.
答案 d
難點突破11——有關平面向量中新定義問題解題策略
從近兩年課改區高考試題可以看出高考以選擇題形式考查平面向量中新定義的問題，一般難度較大．這類問題的特點是背景新穎，資訊量大，通過它可考查學生獲取資訊、分析並解決問題的能力．解答這類問題，首先需要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，然後應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義資訊題難點的關鍵所在．
【示例1】 (2012·泰安十校聯考)定義平面向量之間的一種運算「⊙」如下：對任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面說法錯誤的是( )．
a．若a與b共線，則a⊙b＝0
b．a⊙b＝b⊙a
c．對任意的λ∈r，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
d．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
【示例2】 (2011·山東)設a1，a2，a3，a4是平面直角座標系中兩兩不同的四點，若＝λ (λ∈r)，＝
μ (μ∈r)，且＋＝2，則稱a3，a4調和分割a1，a2.已知平面上的點c，d調和分割點a，b，則下列說法正確的是( )．
a．c可能是線段ab的中點
b．d可能是線段ab的中點
c．c、d可能同時**段ab上
d．c、d不可能同時**段ab的延長線上
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