亭湖高階中學2015屆數學（文）學情檢測
命題人：王曉峰審核人：徐福海
一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題紙相應位置上.
1.若集合，且，則實數的值為 ▲
2.若實數滿足，其中是虛數單位，則 ▲
3.某單位有職工52人，現將所有職工按l、2、3、…、52隨機編號，若採用系統抽樣的方法抽取乙個容量為4的樣本，已知6號、32號、45號職工在樣本中，則樣本中還有乙個職工的編號是
4.根據右圖的偽**，輸出的結果為 ▲
5.已知雙曲線的一條漸近線經過點，則該雙曲線的離心率的值為▲
6. 在大小相同的4個小球中，2個是紅球，2個是白球，若從中隨機抽取2個球，則所抽取的球中至少有乙個紅球的概率是
7. 已知乙個正六稜錐的高為10cm，底面邊長為6cm，則這個正六稜錐的體積為 ▲ cm3．
8.已知向量，的夾角為，且，，則 ▲
9.給出下列命題：
（1）若乙個平面經過另乙個平面的垂線，那麼這兩個平面相互垂直；
（2）若乙個平面內的兩條直線與另乙個平面都平行，那麼這兩個平面相互平行；
（3）若兩條平行直線中的一條垂直於直線m，那麼另一條直線也與直線m垂直；
（4）若兩個平面垂直，那麼乙個平面內與它們的交線不垂直的直線與另乙個平面也不垂直.
其中，所有真命題的序號為
10.已知等比數列的前項和為，若，則的值是
11.在平面直角座標系中，設過原點的直線與圓c：交於m、n兩點，若mn，則直線的斜率k的取值範圍是_▲_____．
12.已知，若，且，則的最大值為
13.關於的二次不等式的解集為，且，則的最小值為 ▲
14.函式在[1，2]上最大值為4，則實數
二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題紙指定的區域內作答，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. （本小題滿分14分）在中，角，，的對邊分別是，，，且，，成等差數列．
（1）若，，求的值；
（2）求的取值範圍．
16. （本小題滿分14分）如圖，在四稜錐p‐abcd中，四邊形abcd為正方形，pa⊥平面abcd，e為pd的中點．求證：
（1）pb∥平面aec；
（2）平面pcd⊥平面pad．
17. （本小題滿分14分）某公司為一家製冷裝置廠設計生產一種長方形薄板，其周長為4公尺，這種薄板須沿其對角線摺疊後使用．如圖所示，為長方形薄板，沿ac摺疊後，交dc於點p．當△adp的面積最大時最節能;而凹多邊形的面積最大時製冷效果最好．
（1）設ab=x公尺，用x表示圖中dp的長度，並寫出x的取值範圍；
（2）若要求最節能，應怎樣設計薄板的長和寬？
（3）若要求製冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？
18. （本小題滿分16分） 如圖，圓o與離心率為的橢圓t：（）相切於點m。
⑴求橢圓t與圓o的方程；
⑵過點m引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交於點a、c與點b、d（均不重合）。
①若p為橢圓上任一點，記點p到兩直線的距離分別為、，求的最大值；
②若，求與的方程。
19. （本小題滿分16分）已知數列的前項和為，前項積為，且滿足，
（1）求的值；
（2）求證：為等比數列；
（3）是否存在常數，使得對任意的都成立？如果存在，求出的值；如果不存在，試說明理由。
20. （本小題滿分16分）已知函式，.如果函式沒有極值點，且存在零點。
（1）求的值；
（2）判斷方程根的個數，並說明理由；
（3）設點是函式圖象上的兩點，平行於ab的切線以為切點，求證：。
亭湖高階中學2015屆數學（文）學情檢測答案
1. 42. 23. 194. 100；
5678.；
9.、、； 101112.－2；
1314.－2
15. 解：(1)成等差數列2分
3分即4分
5分，即6分
，所以7分
（28分
10分12分
的取值範圍是14分
16.（1）證明：鏈結交於點，鏈結．
因為為中點，為中點，
所以4分
因為平面，平面，
所以平面7分
（2）證明：因為平面，平面，所以．………9分
因為在正方形中且，
所以平面12分
又因為平面，所以平面平面14分
17. 解：（1）由題意，，．因，故2分
設，則．
因△≌△，故．
由 ，得5分
（2）記△的面積為，則6分，
當且僅當∈(1，2)時，s1取得最大值8分
故當薄板長為公尺，寬為公尺時，節能效果最好9分
（3）記△的面積為，則
10分於是11分
關於的函式在上遞增，在上遞減．
所以當時，取得最大值13分
故當薄板長為公尺，寬為公尺時，製冷效果最好14分
18. 解: (1)由題意知:解得可知:
橢圓的方程為與圓的方程4分
(2)設因為⊥,則因為
所以7分
因為所以當時取得最大值為，此時點…………9分
(3)設的方程為,由解得；
由解得11分
把中的置換成可得12分
所以，， 由得解得15分
所以的方程為，的方程為
或的方程為，的方程為16分
19. 解：（14分
（2）時，
又也適合， ，可得，所以為等比數列……………………9分
(3) 為等比數列,
假設存在滿足條件的，使得對任意的都成立
而設，則關於恆成立
可得，所以存在常數=，使得對任意的都成立
16分另：也可特殊化
20. 解：（1）由題意，
無極值，存在零點的
即或 所以4分
（2）方程可變形為。在同一座標系中作出函式和函式的圖象，如右圖，觀察圖象，有兩個交點，所以有兩個不相等的實數根8分
法（2）由下證
（*），設，則。從而（*）。
令，則，所以在為增函式，又，所以，當時，，即，從而得到證明。對於同理可證。
所以16分
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