2016屆高三第二次學情檢測（2015.12.17）
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分，請把答案填寫在答題卡的相應位置上.
1．設集合，集合，若，則 ▲ .
2．某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬採用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取乙個容量為300的樣本進行調查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為4∶5∶5∶6，則應從一年級本科生中抽取 ▲ 名學生．
3．已知複數滿足（為虛數單位），
則的模為
4．根據如圖所示的偽**，最後輸出的的
值為5．現有5道試題，其中甲類試題2道，乙類試題3道，現從中隨機取2道試題，則至少有1道試題是乙類試題的概率為
6．在中，若，，，則的
值是7．若實數滿足約束條件，則目標函式的最小值為
8．已知，則的值為
9. 已知等比數列的前項和為，若，則的值是
10．已知雙曲線的一條漸近線與直線平行，則離心率
11．乙個圓柱和乙個圓錐同底等高，若圓錐的側面積是其底面積
的2倍，則圓柱的側面積是其底面積的 ▲ 倍．
12．已知函式，則不等式
的解集為
13．已知函式的影象經過點，
如右圖所示，則的最小值為 ▲ ．
14．已知直線與圓相交於兩點，若，則圓的半徑
二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟.
15．（本小題滿分14分）設函式．
（1）求的單調增區間；
（2）若，求的值域．
16．（本小題滿分14分）
如圖，在多面體中，四邊形是菱形，相交於點，，，平面平面，，點為的中點．
（1）求證：直線平面；
（2）求證：直線平面．
17．（本小題滿分14分） 如圖，已知橢圓，離心率為．過原點的直線與橢圓交於， 兩點（，不是橢圓的頂點）．點在橢圓上，且．
（1）若橢圓的右準線方程為：，求橢圓的方程；
（2）設直線、的斜率分別為、，求的值．
18．（本小題滿分16分）如圖，某小區有一矩形地塊，其中，，單位：百公尺．已知是乙個游泳池，計畫在地塊oabc內修一條與池邊相切於點 m的直路（寬度不計），交線段於點，交線段於點．現以點為座標原點，以線段所在直線為軸，建立平面直角座標系，若池邊滿足函式的圖象．若點到軸距離記為．
（1）當時，求直路所在的直線方程；
（2）當為何值時，地塊在直路不含
泳池那側的面積取到最大，最大值時多少？
19．（本小題滿分16分）若函式在處取得極大值或極小值，則稱為函式的極值點. 已知函式.
（1）當時，求的極值；
（2）若在區間上有且只有乙個極值點，求實數的
取值範圍.
20．（本小題滿分16分）已知數列的前項和為，且對一切正整數都有.
（1）求證：（）；
（2）求數列的通項公式；
（3）是否存在實數，使不等式對一切正整數都成立？若存在，求出的取值範圍；若不存在，請說明理由。
灌雲縣第一中學2016屆高三第二次學情檢測
附加題1．已知矩陣的乙個特徵值為，求矩陣的另乙個特徵值及對應的特徵向量．
2．已知圓的引數方程為，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，直線的極座標方程為，求直線被圓截得的弦長．
3．在稜長為4的正方體中，點在稜上，且．
（1）求直線與平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值．
4．已知為正整數，從數列中分別求相鄰兩個數的算術平均數，得出新數列．對新數列繼續上述操作，直至最後剩下乙個數．
（1）求；
（2）推斷數列的通項公式，並給出證明．
參***
一、 填空題
1.1 2.60 3.
4. 55 5. 6.
-5 7. 1 8. 9.
-2 10. 11. 12.
（-2，1） 13. 14.
二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟.
15．（本小題滿分14分）設函式．
（1）求的單調增區間；
（2）若，求的值域．
解：（1）
……4分
∵ ∴，
∴的單調增區間為7分
（2）∵ ∴ ∴
∴的值域為： ……14分
16．（本小題滿分14分）
如圖，在多面體中，四邊形是菱形，相交於點，，，平面平面，，點為的中點．
（1）求證：直線平面；
（2）求證：直線平面．
解：方法1，
（1）證明：四邊形是菱形
又點為的中點
又平面平面
（2）證明：
.分別為的中點且
又且 四邊形是平行四邊形
又 四邊形是菱形，即
又14分
方法,2，
證明：（1）∵四邊形是菱形，，∴點是的中點，
∵點為的中點3分
又∵平面，平面，∴直線平面．……………7分
（2）∵，點為的中點，∴.
∵平面平面，平面平面，
平面， ∴平面9分
∵平面，∴，
∵，，∴，
∴四邊形為平行四邊形,
11分∵，，∴， ∵四邊形是菱形，∴，
∵，，，在平面內，
∴平面14分
17．（本小題滿分14分） 如圖，已知橢圓，離心率為．過原點的直線與橢圓交於， 兩點（，不是橢圓的頂點）．點在橢圓上，且．
（1）若橢圓的右準線方程為：，求橢圓的方程；
（2）設直線、的斜率分別為、，求的值．
解：（1）∵ ，解得：∴∴橢圓方程為：……6分
（2）法（一） 設，，則，∵，在橢圓上
∴ ∴
11分14分
法（二） 設，，則
則，下同法（一）
18．（本小題滿分16分）如圖，某小區有一矩形地塊oabc，其中oc=2，oa=3，單位：百公尺．已知 o ef是乙個游泳池，計畫在地塊oabc內修一條與池邊 ef相切於點 m的直路l（寬度不計），交線段oc於點d，交線段oa於點 n．現以點 o為座標原點，以線段 oc所在直線為x軸，建立平面直角座標系，若池邊 ef滿足函式y=﹣x2+2（）的圖象．若點 m到y軸距離記為t．
（1）當時，求直路l所在的直線方程；
（2）當t為何值時，地塊oabc在直路l不含泳池那側的面積取到最大，最大值時多少？
【解答】解：（1）把代入函式y=﹣x2+2，得m（，），
∵y'=﹣2x，
∴k=﹣，
∴直線方程為y=﹣x+；
（2）由（1）知，直線的方程為y=﹣2tx+t2+2，
令y=0，x=（t+），令x=0，y=t2+2，
∴（t+）≤2，t2+2≤3，
∴2﹣≤t≤1，
∴s△ond=（t+）（t2+2）=（t3+4t+），
令g（t）=（t3+4t+），
∴g'（t）=，
當t=時，g'（t）=0，
當t∈（2﹣，）時，g'（t）＜0，
當t∈（，1）時，g'（t）＞0，
g（t）≥g（）=，
所以所求面積的最大值為6﹣．
19．（本小題滿分16分）若函式在處取得極大值或極小值，則稱為函式的極值點. 已知函式.
（1）當時，求的極值；
（2）若在區間上有且只有乙個極值點，求實數的取值範圍.
解：（1）當a=0時，f（x）=3xlnx﹣1的定義域為（0，+∞），
f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），
故f（x）=3xlnx﹣1在（0，）上是減函式，在（，+∞）上是增函式；
故f（x）在x=時取得極小值f（）=﹣3﹣14分
（2）函式f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定義域為（0，+∞），
f′（x）=3（ax2+lnx+1），
令g（x）=ax2+lnx+1，則g′（x）=2ax+=，
當a＞0時，g′（x）＞0在（0，+∞）恆成立，
故=3（ax2+lnx+1）在（0，+∞）上是增函式，
而=3[a（）2+ln+1]=3a（）2＞06分
故當x∈（，e）時，＞0恆成立，
故在區間（，e）上單調遞增，
故在區間（，e）上沒有極值點10分
當a=0時，由（1）知，在區間（，e）上沒有極值點；
當a＜0時，令=0解得，x=；
故=ax2+lnx+1在（0，）上是增函式，在（，+∞）上是減函式，…12分
①當g（e）g（）＜0，即﹣＜a＜0時，
g（x）在（，e）上有且只有乙個零點，且在該零點兩側異號，
②令g（）=0得=0，不可能14分
③令g（e）=0得a=﹣，所以∈（，e），
而g（）=g（）=+ln＞0，
又g（）＜0，
所以g（x）在（，e）上有且只有乙個零點，且在該零點兩側異號，
綜上所述，實數a的取值範圍是[﹣，016分
20．（本小題滿分16分）已知數列的前項和為，且對一切正整數都有.
（1）求證：（）；
（2）求數列的通項公式；
（3）是否存在實數，使不等式對一切正整數都成立？若存在，求出的取值範圍；若不存在，請說明理由。
解：（1）證明
由②①得（），
4分（2）解：方法1，∵（）……③
∴（）， ……④
④—③，得6分
從而數列的奇數項依次成等差數列，且首項為，公差為4；
數列的偶數項也依次成等差數列，且首項為，公差為4.
在①中令得，又∵，∴
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