（南京二模）如圖，在平面直角座標系xoy中， 橢圓c：的離心率為，以原點為圓心，橢圓c的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓c的方程；
（2）已知點p(0,1),q(0,2),設m,n是橢圓c上關於y軸對稱的不同兩點，直線pm與qn相交於點t。求證：點t在橢圓c上。
17．（本小題滿分14分）
解：（1）由題意知b3分
因為離心率e＝＝，所以＝＝．
所以a＝2．
所以橢圓c的方程為＋＝16分
（2）證明：由題意可設m，n的座標分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，則
直線pm的方程為y＝x＋1， ①
直線qn的方程為y＝x＋28分
證法一聯立①②解得x＝，y＝，即t(，)．……… 11分
由＋＝1可得x02＝8－4y02．
因為()2＋()2＝
＝＝＝＝1，
所以點t座標滿足橢圓c的方程，即點t在橢圓c上．………………… 14分
證法二設t(x，y)．
聯立①②解得x0＝，y011分
因為＋＝1，所以()2＋()2＝1．
整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，
即＋＝1．
所以點t座標滿足橢圓c的方程，即點t在橢圓c上．………………… 14分
（鹽城二模）已知橢圓的離心率為, 且過點, 記橢圓的左頂點為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 設垂直於軸的直線交橢圓於兩點, 試求面積的最大值；
(3) 過點作兩條斜率分別為的直線交橢圓於兩點, 且, 求證: 直線恆過乙個定點.
18．解:(1)由,解得,所以橢圓的方程為………………………4分
(2)設, ,則6分
又, 所以,
當且僅當時取等號8分
從而, 即面積的最大值為9分
(3)因為a(－1,0),所以,
由,消去y,得,解得x=－1或,
∴點……………11分同理,有,而,
∴…12分 ∴直線bc的方程為,
即,即………………………14分
所以,則由,得直線bc恆過定點…………………16分
(注: 第(3)小題也可採用設而不求的做法,即設,然後代入找關係)
（南京三模）在平面直角座標系中，過點a(-2,-1)橢圓的左焦點為f,短軸端點為、，。
（1）求、的值；
（2）過點a的直線與橢圓c的另一交點為q，與軸的交點為r．過原點o且平行於的直線與橢圓的乙個交點為p．若aqar=3 op2，求直線的方程。
（百校聯考）已知中心在原點、焦點在軸上的橢圓過點，離心率為．如圖，平行於的直線交橢圓於不同的兩點．
（1）當直線經過橢圓的左焦點時，求直線的方程；
（2）證明：直線與軸總圍成等腰三角形．
解：（1）根據，可設橢圓方程為，
將代入可得，
所以橢圓的方程為
因此左焦點為，斜率
所以直線的方程為，即
（2）設直線的斜率分別為，，則，
設，由，得
所以，，
代入（*）式，得
所以直線與軸總圍成等腰三角形．
（南師大資訊卷）,
(1)求以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓e的方程.
(2)點p在橢圓e上，點c(2,1)關於座標原點的對稱點為d，直線cp和dp的斜率都存在且不為0，試問直線cp和dp的斜率之積是否為定值？若是，求此定值;若不是，請說明理由.
(3)平行於cd的直線交橢圓e於m、n兩點，求面積的最大值，並求此時直線的方程.
解：(2)依題意得d點的座標為（-2，-1），且d點在橢圓e上，直線cp和dp的斜率kcp和kdp均存在，設p(x,y),..
(3)直線cd的斜率為，cd平行於直線，
設直線的方程為
由，消去，整理得，
, .
點c到直線mn的距離為
當且僅當
（南通三模）已知橢圓的右焦點為，離心率為。
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設a、b為橢圓上關於原點對稱的兩點，的中點為m，的中點為n，若原點o在以線段mn為直徑的圓上。
①證明點a在定圓上；
②設直線ab的斜率為，若≥，求的取值範圍。
分析：（2）①證明點a在定圓上，本質是證明可設點的座標，用點的座標表示的位置關係，從而得出結論；
②由推出，也可由前兩個方程解出後代入第三個方程得到。
解：（1）由，c=2，得a=，b=2．
所求橢圓方程為4分
（2）設，則，
故6分① 由題意，得．
化簡，得，所以點在以原點為圓心，2為半徑的圓上． …………8分
設，則．
將，，代入上式整理，得
10分因為，k2>0，所以12分
所以 ．化簡，得
解之，得，.
故離心率的取值範圍是14分
(說明：不討論，得的扣2分)
（蘇錫常一模）如圖，已知橢圓的上頂點為，直線交橢圓於點，（點在點的左側），點在橢圓上.
（1）若點的座標為，求四邊形的面積；
（2）若四邊形為梯形，求點的座標；
（3）若（，為實數），求的最大值.
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