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相似三角形的判定(提高）
一、選擇題
1. 已知△a1b1c1與△a2b2c2的相似比為4：3，△a2b2c2與△a3b3c3的相似比為4：5，則△a1b1c1與△a3b3c3的相似比為( )
a. 16：15 b. 15：16 c. 3：5 d. 16：15或15：16
2．如圖，p是rtδabc的斜邊bc上異於b、c的一點，過點p做直線截δabc，使截得的三角形與δabc相似，滿足這樣條件的直線共有（ ）．
a．1條 b．2條 c．3條 d．4條
3. 如圖，在△abc中，m是ac邊中點，e是ab上一點，且ae= ab，鏈結em並延長，交bc的延長線於d，此時bc：cd為( )
a. 2：1 b. 3：2 c. 3：1 d. 5：2
4. 如圖，在平行四邊形abcd中，e是ad上的一點，連線ce並延長交ba的延長線於點f，則下列結論中錯誤的是（ ）．
a．∠aef＝∠dec b．fa∶cd＝ae∶bc c．fa∶ab＝fe∶ec d．ab＝dc
5．如圖，在rt△abc中，∠c＝90°，cd⊥ab，垂足為d，則圖中相似三角形有（ ）．
a．4對 b．3對 c．2對 d．1對
6. 如圖，abcd是正方形，e是cd的中點，p是bc邊上的一點，下列條件中，不能推出△abp與△ecp相似的是( )
a. ∠apb=∠epc b. ∠ape=90° c. p是bc的中點 d. bp：bc=2：3
二、填空題
7. 如圖, ∠1=∠2=∠3, 則圖中與△cde相似三角形是________和________
8. 如圖，p為線段ab上一點，ad與bc交於e，∠cpd＝∠a＝∠b，bc交pd於f，ad交pc於g，則圖中相似三角形有_________對.
9. 如圖，是正方形abcd的外接圓，點f是ab的中點，cf的延長線交於點e,則cf:ef的值是________.
10. 如圖，點m在bc上，點n在am上，cm=cn則①△abm∽△acb,
②△anc∽△amb,③△anc∽△acm,④△cmn∽△bca中正確的有
11. 如圖，在平行四邊形abcd中，m,n為ab的三等分點，dm,dn分別交ac於p,q兩點，則ap：pq:qc
12. 如圖，正方形abcd的邊長為2，ae=eb,mn=1.線段mn的兩端在cb,cd邊上滑動，當cm=______時，△aed與以m、n、c為頂點的三角形相似.
三、解答題
13. 如圖，和都是等邊三角形，且b、c、d共線，be分別和ac、ad相交於點m、g，ce和ad相交於點n．
求證：（1）cg平分． （2）∽．
14. 如圖，△abc是等邊三角形，點d、e分別在bc、ac上，且bd＝ce，ad與be相交於點f．
（1）試說明△abd≌△bce；
（2）△eaf與△eba相似嗎？說說你的理由．
15. 已知點p**段ab上，點o**段ab的延長線上.以點o為圓心，op為半徑作圓，點c是圓o上的一點.
（1）如圖，如果ap=2pb，pb=bo.求證：△cao∽△bco；
（2）如果ap=m(m是常數，且)，bp=1，op是oa、ob的比例中項.當點c在圓o上運動時，求的值(結果用含m的式子表示)；
（3）在(2)的條件下，討論以bc為半徑的圓b和以ca為半徑的圓c的位置關係，並寫出相應m的取值範圍.
【答案與解析】
一．選擇題
1.【答案】a.
2.【答案】c.
【解析】分別是過點p做ab,ac,bc的垂線.
3.【答案】a.
【解析】
如圖，做cn∥ab,交ed於點n,
∵m是ac邊中點,△aem≌△cnm,即cn=ae,
∵ae= ab，∴ae:be=1:3，即cn:be=1:3.
∵cn∥ab，∴△dcn∽△dbe,即cd:bd= cn:be=1:3,∴cd:bc=1:2.
4.【答案】b
5.【答案】b
【解析】△abc∽△acd; △abc∽△cbd; △cbd∽△acd.
6.【答案】c .
【解析】當p是bc的中點時，△epc為等腰直角三角形.
二. 填空題
7.【答案】△cea、△cab.
8.【答案】3對.
【解析】由 ∠cpd＝∠a＝∠b，得△cpf∽△cbp，△dpg∽△dap，得∠cpb＝∠cfp，
則 ∠apg＝∠bfp，得△apg∽△bfp，有3對.
9.【答案】5：1.
【解析】
如圖，連線ae,則△aef∽△cbf,
∵點f是ab的中點,正方形abcd,∴ef:ae=bf:bc=1:2.
設ef=k,則ae=2k,af=k,即bf=k,bc=2k，cf=5k.
∴cf:ef=5:1.
10.【答案】②.
11.【答案】5:3:12
【解析】略
12.【答案】.
三綜合題
13.【解析】（1）
證明：如圖，作cp⊥ad於p，cq⊥be於q，
∵和都是等邊三角形，
∴ac=bc，cd=ce，∠acb=∠dce=60°，
∴∠acb+∠ace=∠dce+∠ace
即∠bce=∠acd，
∴△bce≌△acd，
∴∠bec=∠adc，
∵cp⊥ad，cq⊥be
∴∠cqe=∠cpd=90°
在△cqe和△cpd中：
∴△cqe≌△cpd，
∴cq=cp,
∴cg平分（到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。）
（2）∵△bce≌△acd，
∴∠cbe=∠cad，
又 ∵∠cmb=∠amg，
∴∠bcm=∠agm=60°，
又 ∵cg平分，
∴∠cgb=∠cgd=60°=∠egp，
∴∠agc=120°=∠cge，
∠gce=∠60°∠bec
∵∠ebc=60°-∠bec，
gce=∠ebc=∠cad，
acg∽△ceg．
14.【解析】
（1）∵△abc是等邊三角形，∴ab＝bc，∠abd＝∠bce＝∠bac，
又 ∵bd＝ce，∴△abd≌△bce；
（2）相似；∵△abd≌△bce，∴∠bad＝∠cbe，
bac－∠bad＝∠cba－∠cbe，∴∠eaf＝∠eba，
又 ∵∠aef＝∠bea，∴△eaf∽△eba．
15.【解析】
（1）利用兩邊的比相等，夾角相等證相似.
由已知ap=2pb，pb=bo
可推出，
∴△cao∽△bco
（2）設
∵是的比例中項，
∴是的比例中項
即∴解得又∵（3）∵，，即
當時，兩圓內切；當時，兩圓內含；當時，兩圓相交.
相似三角形的判定練習
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