(一)相似三角形
1、定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形．
①當乙個三角形的三個角與另乙個(或幾個)三角形的三個角對應相等，且三條對應邊的比相等時，這兩個(或幾個)三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個條件，缺一不可；
②相似三角形的特徵：形狀一樣，但大小不一定相等；
③相似三角形的定義，可得相似三角形的基本性質：對應角相等，對應邊成比例．
2、相似三角形對應邊的比叫做相似比．
①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其區別在於全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例．
②相似比具有順序性．例如△abc∽△a′b′c′的對應邊的比，即相似比為k，則△a′b′c′∽△abc的相似比，當它們全等時，才有k=k′=1．
③相似比是乙個重要概念，後繼學習時出現的頻率較高，其實質它是將乙個圖形放大或縮小的倍數，這一點借助相似三角形可觀察得出．
3、如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，那麼這兩個多邊形叫做相似多邊形．
4、相似三角形的預備定理：平行於三角形的一條邊直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．
①定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：
∵de∥bc，∴△abc∽△ade；
（雙a型）
②這個定理是用相似三角形定義推導出來的三角形相似的判定定理．它不但本身有著廣泛的應用，同時也是證明相似三角形三個判定定理的基礎，故把它稱為「預備定理」；
③有了預備定理後，在解題時不但要想到 「見平行，想比例」，還要想到「見平行，想相似」．
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理1：如果乙個三角形的兩個角與另乙個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形相似。可簡單說成：兩角對應相等，兩三角形相似。
例1、已知：如圖，∠1=∠2=∠3，求證：△abc∽△ade．
例2、如圖，e、f分別是△abc的邊bc上的點，de∥ab,df∥ac ,
求證：△abc∽△def.
判定定理2：如果三角形的兩組對應邊的比相等，並且相應的夾角相等，那麼這兩個三角形相似。
簡單說成：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．
例1、△abc中，點d在ab上，如果ac2=adab，那麼△acd與△abc相似嗎？說說你的理由．
例2、如圖，點c、d**段ab上，△pcd是等邊三角形。
（1）當ac、cd、db滿足怎樣的關係時，△acp∽△pdb？
（2）當△acp∽△pdb時，求∠apb的度數。
判定定理3：如果三角形的三組對應邊的比相等，那麼這兩個三角形相似。
簡單說成：三邊對應成比例，兩三角形相似．
強調：①有平行線時，用預備定理；
②已有一對對應角相等(包括隱含的公共角或對頂角)時，可考慮利用判定定理1或判定定理2；
③已有兩邊對應成比例時，可考慮利用判定定理2或判定定理3．但是，在選擇利用判定定理2時，一對對應角相等必須是成比例兩邊的夾角對應相等．
2、直角三角形相似的判定：
斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似．
例1、已知：如圖，在正方形abcd中，p是bc上的點，且bp＝**c，q是cd的中點．求證：△adq∽△qcp．
例2、如圖,ab⊥bd,cd⊥bd,p為bd上一動點,ab=60 cm,cd=40 cm,bd=140 cm,當p點在bd上由b點向d點運動時,pb的長滿足什麼條件,可以使圖中的兩個三角形相似?請說明理由.
例3、如圖ad⊥ab於d，ce⊥ab於e交ab於f，則圖中相似三角形的對數有對。
例4、已知：ad是rt△abc中∠a的平分線，∠c=90°，
ef是ad的垂直平分線交ad於m，ef、bc的延長線交於一點n。
求證：(1)△ame∽△nmd
(2)nd2=nc·nb
①由於直角三角形有乙個角為直角，因此，在判定兩個直角三角形相似時，只需再找一對對應角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對應成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個直角三角形相似；
②如圖是乙個十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為「母子相似三角形」，其應用較為廣泛．（直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直三角形的與原三角形相似）
③如圖，可簡單記為：在rt△abc中，cd⊥ab，則△abc∽△cbd∽△acd．
④補充射影定理。
特殊情況：
第一：頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似。
第二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。
第三：有乙個銳角相等的兩個直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
第五：如果乙個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另乙個三角形的兩邊和其中一邊上的中線對應成比例，那麼這兩個三角形相似。
三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯絡列表如下：
二、重點難點疑點突破
1、尋找相似三角形對應元素的方法與技巧
正確尋找相似三角形的對應元素是分析與解決相似三角形問題的一項基本功．通常有以下幾種方法：
(1)相似三角形有公共角或對頂角時，公共角或對頂角是最明顯的對應角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應角；相似三角形中，一對相等的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊，對應角的夾邊是對應邊；
(2)相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應邊；對應邊所對的角是對應角；對應邊所夾的角是對應角．
（3）對應字母要寫在對應的位置上，可直接得出對應邊，對應角。
2、常見的相似三角形的基本圖形：
學習三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現頻率較高的圖形，要善於歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善於總結，形成一整套完整的判定方法．如：
(1)「平行線型」相似三角形，基本圖形見前圖．「見平行，想相似」是解這類題的基本思路；
(2)「相交線型」相似三角形，如上圖．其中各圖中都有乙個公共角或對頂角．「見一對等角，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例」是解這類題的基本思路；
(3)「旋轉型」相似三角形，如圖．若圖中∠1=∠2，∠b=∠d(或∠c=∠e)，則△ade∽△abc，該圖可看成把第乙個圖中的△ade繞點a旋轉某一角度而形成的．
從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到新增的輔助線．以上「平行線型」是常見的，這類相似三角形的對應元素有較明顯的順序，「相交線型」識圖較困難，解題時要注意從複雜圖形中分解或新增輔助線構造出基本圖形．
練習：1、如圖，下列每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，並簡要說明識別的根據。
2、如圖27-2-1-12,在大小為4×4的正方形方格中,△abc的頂點a,b,c在單位正方形的頂點上,請在圖中畫乙個△a1b1c1,使△a1b1c1∽△abc(相似比不為1),且點a1,b1,c1都在單位正方形的頂點上.
圖27-2-1-12
1、尋找相似三角形的個數
例1、(吉林)將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺成如圖的樣子，假設圖形中所有點、線都在同一平面內，回答下列問題：
(1)圖中共有多少個三角形？把它們一一寫出來；
(2)圖中有相似(不包括全等)三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來．
如圖，△abc中，點d、e分別在邊ab、ac上，連線並延長de交bc的延長線於點f，連線dc、be，若∠bde＋∠bce＝180°。⑴寫出圖中3對相似三角形（注意：不得新增字母和線）⑵請在你所找出的相似三角形中選取1對，說明它們相似的理由。
1、如圖，在正方形網格上有6個三角形其中②-⑥中與①相似的是
2、畫符合要求的相似三角形
例1、(上海)在大小為4×4的正方形方格中，△abc的頂點a、b、c在單位正方形的頂點上，請在圖中畫出乙個△a1b1c1，使得△a1b1c1∽△abc(相似比不為1)，且點a1、b1、c1都在單位正方形的頂點上．
3、相似三角形的判定
例1、(1)如圖，o是△abc內任一點，d、e、f分別是oa、ob、oc的中點，求證：△def∽△abc；
(2)如圖，正方形abcd中，e是bc的中點，df=3cf，寫出圖中所有相似三角形，並證明．
例2、如圖，在△abc中，df經過△abc的重心g，且df∥ab，de∥ac，連線ef，如果bc=5，ac=ab.求證:△def∽△abc
4、直角三角形中相似的判定
例1、如圖，△abc中，∠bac=90°，ad⊥bc於d，de為ac的中線，延長線交ab的延長於f，求證：ab·af=ac·df。
例2、已知：如圖，在△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於d，e是ac上一點，cf⊥be於f。求證：eb·df=ae·db
5、相似三角形的綜合運用
例1、如圖，cd是rt△abc斜邊ab上的中線，過點d垂直於ab的直線交bc於e，交ac延長線於f．
求證：(1)△adf∽△edb；(2)cd2=de·df．
例2、如圖，ad是△abc的角平分線，be⊥ad於e，cf⊥ad於f． 求證：．
例3、如圖，在正方形abcd中，m、n分別是ab、bc上的點，bm=bn，bp⊥mc於點p．
求證： pn⊥pd．
6、相似三角形中輔助線的新增
（1）、作垂線
3.如圖從 abcd頂點c向ab和ad的延長線引垂線ce和cf，垂足分別為e、f，求證：。
（2）、作延長線
例1、 如圖，rtabc中，cd為斜邊ab上的高，e為cd的中點，ae的延長線交bc於f，fgab於g，求證：fg=cfbf
（3）、作中線
例1、 如圖，中，ab⊥ac，ae⊥bc於e，d在ac邊上，若bd=dc=ec=1，求ac。
相似三角形的判定 3
23.2相似三角形的判定 3 主備 唐吉初審 李軍審核 崔坤 教學目標 1 知識與技能 會說出識別兩個三角形相似的方法 有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三 角形相似 三條邊對應成比例的兩個三角形相似。2 過程與方法 以問題的形式，創設乙個有利於學生動手和 的情境，達到學會本節課所學的相似三角形的判...
相似三角形的判定練習
1 如圖1，1 若 則 oac obd，a 2 若 b則 oac obd，與 是對應邊 3 請你再寫乙個條件使 oac obd 2 如圖3，已知a 3，0 b 0，6 且 aco bao，則點c 的座標為ac 3 下列各 形一定相似的是 a 有乙個角相等的等腰三角形 b 有乙個角相等的直角三角形 c...
相似三角形判定練習試題
成功源於努力！相似三角形的判定 提高 一 選擇題 1.已知 a1b1c1與 a2b2c2的相似比為4 3，a2b2c2與 a3b3c3的相似比為4 5，則 a1b1c1與 a3b3c3的相似比為 a.16 15 b.15 16 c.3 5 d.16 15或15 16 2 如圖，p是rt abc的斜邊...