第一章集合與函式概念
一：集合的含義與表示
1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，並且能判斷乙個給定的東西是否屬於這個整體。
把研究物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。
2、集合的中元素的三個特性：
（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬於這個集合是確定的：屬於或不屬於。
（2）元素的互異性：乙個給定集合中的元素是唯一的，不可重複的。
（3）元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，並且改變位置不影響集合
3、集合的表示：
（1）用大寫字母表示集合：a=,b=
（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。
a、列舉法：將集合中的元素一一枚舉出來
b、描述法：
①區間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。
,②語言描述法：例：
③venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線裡面表示集合。
4、集合的分類：
（1）有限集：含有有限個元素的集合
（2）無限集：含有無限個元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合
5、元素與集合的關係：
（1）元素在集合裡，則元素屬於集合，即：a a
（2）元素不在集合裡，則元素不屬於集合，即：a￠a
◆ 注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集） 記作：n
正整數集 n*或 n+
整數集z
有理數集q
實數集r
6、集合間的基本關係
（1）.「包含」關係（1）—子集
定義：如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，我們說這兩個集合有包含關係，稱集合a是集合b的子集。記作：（或bａ）
注意：有兩種可能（1）a是b的一部分；
（2）a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含於集合b,或集合b不包含集合a,記作ab或ba
（2）.「包含」關係（2）—真子集
如果集合，但存在元素x b且x￠a，則集合a是集合b的真子集
如果a b,且a b那就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)讀作a真含與b
（3）．「相等」關係：a=b
「元素相同則兩集合相等」
如果a b 同時 b a 那麼a=b
（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
（5）集合的性質
① 任何乙個集合是它本身的子集。a a
②如果 a b, b c ,那麼 a c
③如果ab且bc，那麼ac
④有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集
7、集合的運算
二、函式的概念
1． 函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作：
y=f(x)，x∈a．
（1）其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；
（2）與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．
2． 函式的三要素：定義域、值域、對應法則
3． 函式的表示方法：（1）解析法：明確函式的定義域
（2）圖想像：確定函式影象是否連線，函式的影象可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。
（3）列表法：選取的自變數要有代表性，可以反應定義域的特徵。
4、函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上 .
(2) 畫法
a、描點法： b、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換，即平移。
（3）函式影象平移變換的特點：
1）加左減右——————只對x
2）上減下加——————只對y
3）函式y=f(x) 關於x軸對稱得函式y=-f(x)
4）函式y=f(x) 關於y軸對稱得函式y=f(-x)
5）函式y=f(x) 關於原點對稱得函式y=-f(-x)
6）函式y=f(x) 將x軸下面影象翻到x軸上面去，x軸上面影象不動得
函式y=| f(x)|
7）函式y=f(x) 先作x≥0的影象，然後作關於y軸對稱的影象得函式f(|x|)
三、函式的基本性質
1、函式解析式子的求法
（1）、函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
（2）、求函式的解析式的主要方法有：
1）代入法：
2）待定係數法：
3）換元法：
4)拼湊法：
2．定義域：能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域。
求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零；
(2)偶次方根的被開方數不小於零；
(3)對數式的真數必須大於零；
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零，
(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
3、相同函式的判斷方法：①表示式相同（與表示自變數和函式值的字母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
4、區間的概念：
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
（2）無窮區間
（3）區間的數軸表示
5、值域 （先考慮其定義域）
（1）觀察法：直接觀察函式的影象或函式的解析式來求函式的值域；
（2）反表示法：針對分式的型別，把y關於x的函式關係式化成x關於y的函式關係式，由x的範圍類似求y的範圍。
(3)配方法：針對二次函式的型別，根據二次函式影象的性質來確定函式的值域，注意定義域的範圍。
(4)代換法（換元法）：作變數代換，針對根式的題型，轉化成二次函式的型別。
6.分段函式
（1）在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。
（2）各部分的自變數的取值情況．
（3）分段函式的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集．
（4）常用的分段函式有取整函式、符號函式、含絕對值的函式
7．對映
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f（對應關係）：
a（原象）b（象）」
對於對映f：a→b來說，則應滿足：
(1)集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；
(2)集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；
(3)不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
注意：對映是針對自然界中的所有事物而言的，而函式僅僅是針對數字來說的。所以函式是對映，而對映不一定的函式
8、函式的單調性(區域性性質)及最值
（1）、增減函式
（1）設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1（2）如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1注意：函式的單調性是函式的區域性性質；函式的單調性還有單調不增，和單調不減兩種
（2）、 圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
（3）、函式單調區間與單調性的判定方法
(a) 定義法：
[\\mkern-13mu', 'altimg': 'a01534ebbcf78c67ab5c9d008d6fb498.png', 'w':
'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,1)'}] 任取x1，x2∈d，且x1[\\mkern-13mu', 'altimg':
'6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png', 'w': '33', 'h':
'38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,2)'}] 作差f(x1)－f(x2)；
[\\mkern-13mu', 'altimg': 'd05806a91d1fe4875a3b01149d08d6b3.png', 'w':
'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,3)'}] 變形（通常是因式分解和配方）；
[\\mkern-13mu', 'altimg': '289b460b6f36c7bbc07754bd0bc0403b.png', 'w':
'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,4)'}] 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
[\\mkern-13mu', 'altimg': '809d4c472124c491478f6577f76f193a.png', 'w':
'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,5)'}] 下結論（指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）．
(b)圖象法(從圖象上看公升降)
(c)復合函式的單調性
復合函式：如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x)(x∈a) 稱為f、g的復合函式。
復合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：「同增異減」
注意：函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
9：函式的奇偶性（整體性質）
（1）、偶函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函式．
人教版高中數學必修一知識點
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